Question

1．已知函数$f（x）=\frac{1}{x}-{log_2}\frac{2+x}{2-x}$．
（1）求f（x）的定义域；
（2）判断并证明f（x）的奇偶性．

Answer 1

分析 （1）根据函数成立的条件建立不等式关系即可求出函数的定义域．
（2）根据函数奇偶性的定义进行判断即可．

解答 解：（1）函数f（x）有意义，需$\left\{\begin{array}{l}x≠0\\ \frac{2+x}{2-x}＞0\end{array}\right.$，得-2＜x＜2且x≠0，
∴函数定义域为{x|-2＜x＜0或0＜x＜2}．…（6分）
（2）函数f（x）为奇函数，
∵$f（x）=\frac{1}{x}-{log_2}\frac{2+x}{2-x}=-\frac{1}{x}+{log_2}\frac{2+x}{2-x}=-f（x）$，
又由（1）已知f（x）的定义域关于原点对称，
∴f（x）为奇函数．…（12分）

点评 本题主要考查函数定义域和函数奇偶性的判断，根据函数奇偶性的定义是解决本题的关键．