Question

已知函数f（x）=e^x（x²+ax-a），其中a是常数．
（Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）若存在实数k，使得关于x的方程f（x）=k在[0，+∞）上有两个不相等的实数根，求k的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）当a=1时，f（1）=e，f′（1）=4e，由点斜式可求得y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ） 令f′（x）=e^x[x²+（a+2）x）]=0，可解得x=-（a+2）或x=0，对-（a+2）与0的大小关系分类讨论，可求得关于x的方程f（x）=k在[0，+∞）上有两个不相等的实数根的k的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）由f（x）=e^x（x²+ax-a）可得，
f′（x）=e^x[x²+（a+2）x）]，．…（2分）
当a=1时，f（1）=e，f′（1）=4e．…（4分）
所以 曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y-e=4e（x-1），
即y=4ex-3e．…（5分）
（Ⅱ） 令f′（x）=e^x[x²+（a+2）x）]=0，
解得x=-（a+2）或x=0．…（6分）
当-（a+2）≤0，即a≥-2时，在区间[0，+∞）上，f′（x）≥0，所以f（x）是[0，+∞）上的增函数．
所以方程f（x）=k在[0，+∞）上不可能有两个不相等的实数根．…（8分）
当-（a+2）＞0，即a＜-2时，f′（x），f（x）随x的变化情况如下表

x	0	（0，-（a+2））	-（a+2）	（-（a+2），+∞）
f′（x）	0	-	0	+
f（x）	-a	↘	a+4 ea+2	↗

由上表可知函数f（x）在[0，+∞）上的最小值为f（-（a+2））=

a+4

ea+2

．…（10分）
因为 函数f（x）是（0，-（a+2））上的减函数，是（-（a+2），+∞）上的增函数，
且当x≥-a时，有f（x）≥e^-a（-a）＞-a．…（11分）
所以要使方程x的方程f（x）=k在[0，+∞）上有两个不相等的实数根，k的取值范围必须是（

a+4

ea+2

，-a]．…（13分）

点评：本题考查利用导数研究曲线上某点切线方程，考查利用导数研究函数的极值，突出考查分类讨论思想与转化思想的应用，考查综合分析与综合运算的能力，属于难题．