Question

17．已知cosα=$\frac{3}{5}$，cos（α-β）=$\frac{12}{13}$，且0$＜α＜β＜\frac{π}{2}$，则sinβ=$\frac{63}{65}$．

Answer 1

分析 根据α、β的范围求出α-β的范围，由平方关系求出sinα和sin（α-β），再由两角差的正弦公式求出sinβ的值．

解答 解：∵0$＜α＜β＜\frac{π}{2}$，∴$-\frac{π}{2}＜α-β＜0$，
∵cosα=$\frac{3}{5}$，cos（α-β）=$\frac{12}{13}$，
∴sinα=$\sqrt{1-{cos}^{2}α}$=$\frac{4}{5}$，
sin（α-β）=-$\sqrt{1-{cos}^{2}（α-β）}$=-$\frac{5}{13}$，
则sinβ=sin[α-（α-β）]=sinαcos（α-β）-cosαsin（α-β）
=$\frac{4}{5}×\frac{12}{13}-\frac{3}{5}×（-\frac{5}{13}）$=$\frac{63}{65}$，
故答案为：$\frac{63}{65}$．

点评 本题考查由两角差的正弦函数，以及平方关系的应用，注意角的范围和角之间的关系，属于中档题．