Question

设

a

、

b

是两个不共线的非零向量 （t∈R）
（1）记

OA

=

a

，

OB

=t

b

，

OC

=

1

3

(

a

+

b

)，那么当实数t为何值时，A、B、C三点共线？
（2）若|

a

|=|

b

|=1且

a

与

b

夹角为120°，那么实数x为何值时|

a

-x

b

|的值最小？

Answer 1

分析：（1）由三点A，B，C共线，必存在一个常数t使得

AB

=λ

BC

，由此等式建立起关于λ，t的方程求出t的值；
（2）由题设条件，可以|

a

-x

b

|表示成关于实数x的函数，根据所得的函数判断出它取出最小值时的x的值．

解答：解：（1）由三点A，B，C共线，必存在一个常数t使得

AB

=λ

BC

，则有

OB

-

OA

=λ(

OC

-

OB

)
又

OA

=

a

，

OB

=t

b

，

OC

=

1

3

(

a

+

b

)
∴t

b

-

a

=

1

3

λ(

a

+

b

)-λt

b

，又

a

、

b

是两个不共线的非零向量
∴

t+λt- 1 3 λ=0 1 3 λ=-1

解得

λ=-3 t= 1 2

故存在t=

1

2

时，A、B、C三点共线
（2）∵|

a

|=|

b

|=1且

a

，

b

两向量的夹角是120°
∴|

a

-x

b

|²=

a

2-2x

a

•

b

+x2

b

2=1+x+x²=（x+

1

2

）²+

3

4

∴当x=-

1

2

时，|

a

-x

b

|的值最小为

3

2

点评：本题考查平面向量的综合题，解题的关键是熟练掌握向量共线的坐标表示，向量的模的坐标表示，理解题设条件，正确转化．本题把三点共线转化为了向量共线，将模的最小值求参数的问题转化为求函数的最小值，解题时要注意恰当地运用转化、化归这一数学思想