Question

如图，四面体ABCD中，O是BD的中点，△ABD和△BCD均为等边三角形，
AB=2，AC=

6

．
（I）求证：AO⊥平面BCD；
（II）求二面角A-BC-D的大小；
（III）求O点到平面ACD的距离．

Answer 1

分析：（I）要证AO⊥平面BCD，可证AO⊥BD，易证．再证AO⊥OC，利用勾股定理．
（Ⅱ）过O作OE⊥BC于E，连接AE，证得∠AEO为二面角A-BC-D的平面角，解三角形AOE可得大小．
（Ⅲ）利用等体积法V_O-ACD=V_A-OCD求O点到平面ACD的距离．

解答：证明：（I）连接OC，∵△ABD为等边三角形，O为BD的中点，
∴AO⊥BD．
∵△ABD和△CBD为等边三角形，O为BD的中点，AB=2，AC=

6

，
∴AO=CO=

3

在△AOC中，∵AO²+CO²=AC²，
∴∠AOC=90°，即AO⊥OC
∵BD∩OC=O，
∴AO⊥平面BCD
（II）过O作OE⊥BC于E，连接AE，
∵AO⊥平面BCD，
∴AE在平面BCD上的射影为OE．
∴AE⊥BC．
∴∠AEO为二面角A-BC-D的平面角
在Rt△AEO中，AO=

3

，OE=

3

2

，tan∠AEO=

AO

OE

=2
∴∠AEO=arctan2．
∴二面角A-BC-D的大小为arctan2
（III）解：设点O到平面ACD的距离为h．∵V_O-ACD=V_A-OCD，
∴

1

3

S△ACD•h=

1

3

S△OCD•AO．
在△ACD中，AD=CD=2，AC=

6

，S△ACD=

1

2

6

•

22-( 6 2 )2

=

15

2

．
而AO=

3

，S△OCD=

3

2

，
∴h=

S△OCD

S△ACD

•AO=

15

5

．
∴点O到平面ACD的距离为

15

5

点评：本题主要考查空间角的计算，线面垂直，面面垂直的定义，性质、判定，考查了空间想象能力、计算能力，分析解决问题能力．空间问题平面化是解决空间几何体问题最主要的思想方法