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如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,点E在棱CC1上,点F是棱C1D1的中点
(1)若AF∥平面BDE,求CE的长;
(2)若平面BDE⊥平面A1BD,求三棱锥F-ABE的体积.
分析:(1)连接AC交BD于O,连接CF交DE于P,连接PO,由AF∥平面BDE,知AF∥PO,由O为AC中点,知P为CF中点,由此能求出CE的长.
(2)由平面BDE⊥平面A1BD且EO⊥BD,知EO⊥平面A1BD,由AC1⊥平面A1BD,知EO∥AC1,因此E为CC1的中点,由此能求出三棱锥F-ABE的体积.
解答:解:(1)连接AC交BD于O,连接CF交DE于P,连接PO,
∵AF∥平面BDE,∴AF∥PO,
又∵O为AC中点,∴P为CF中点,(2分)
在正方形CD1C1C中,延长DE交D1C1的延长线于点Q,
由平面几何知识得
C1E
C1B
=
1
3

所以CE=
2
3
.(5分)
(2)∵平面BDE⊥平面A1BD且EO⊥BD,
∴EO⊥平面A1BD,(7分)
又∵AC1⊥平面A1BD,∴EO∥AC1
因此E为CC1的中点,(9分)
∵B1C⊥平面ABF,∴E到平面ABF 的距离为
2
2

又∵S△ABF=2
2

∴三棱锥F-ABE的体积VF-ABE=VE-ABF=
1
3
S△ABF
2
2
=
2
3
.(12分)
点评:本题考查线段长的求法,考查三棱锥的体积的求法,解题时要认真审题,合理地化空间问题为平面问题,注意等积法的合理运用.
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13
AB

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