【题目】在平面四边形ABCD中,AB=BD=CD=1,AB⊥BD,CD⊥BD,将△ABD沿BD折起,使得平面ABD⊥平面BCD,如图.
(1)求证:AB⊥CD;
(2)若M为AD中点,求直线AD与平面MBC所成角的正弦值.
【答案】
(1)证明:∵平面ABD⊥平面BCD,平面ABD∩平面BCD=BD,AB平面ABD,AB⊥BD,
∴AB⊥平面BCD,又CD平面BCD,∴AB⊥CD
(2)解:建立如图所示的空间直角坐标系.
∵AB=BD=CD=1,AB⊥BD,CD⊥BD,
∴B(0,0,0),C(1,1,0),A(0,0,1),D(0,1,0),M .
∴ =(0,1,﹣1),
=(1,1,0),
=
.
设平面BCM的法向量 =(x,y,z),则
,
令y=﹣1,则x=1,z=1.
∴ =(1,﹣1,1).
设直线AD与平面MBC所成角为θ.
则sinθ=|cos |=
=
=
.
【解析】(1)利用面面垂直的性质定理即可得出;(2)建立如图所示的空间直角坐标系.设直线AD与平面MBC所成角为θ,利用线面角的计算公式sinθ=|cos |=
即可得出.
【考点精析】本题主要考查了空间中直线与直线之间的位置关系和空间角的异面直线所成的角的相关知识点,需要掌握相交直线:同一平面内,有且只有一个公共点;平行直线:同一平面内,没有公共点;异面直线: 不同在任何一个平面内,没有公共点;已知为两异面直线,A,C与B,D分别是
上的任意两点,
所成的角为
,则
才能正确解答此题.
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【题目】学校计划在全国中学生田径比赛期间,安排6位志愿者到4个比赛场地提供服务,要求甲、乙两个比赛场地各安排一个人,剩下两个比赛场地各安排两个人,其中的小李和小王不在一起,不同的安排方案共有( )
A. 168种 B. 156种 C. 172种 D. 180种
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【题目】为了研究高中学生对乡村音乐的态度(喜欢和不喜欢两种态度)与性别的关系,运用2×2列联表进行独立性检验,经计算K2=8.01,附表如下:
P(K2≥k0) | 0.100 | 0.050 | 0.025 | 0.010 | 0.001 |
k0 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 10.828 |
参照附表,得到的正确的结论是( )
A. 有99%以上的把握认为“喜欢乡村音乐与性别有关”
B. 有99%以上的把握认为“喜欢乡村音乐与性别无关”
C. 在犯错误的概率不超过0.1%的前提下,认为“喜欢乡村音乐与性别有关”
D. 在犯错误的概率不超过0.1%的前提下,认为“喜欢乡村音乐与性别无关”
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图所示,有两条相交成60°角的直线,交点为
.甲、乙分别在
上,起初甲离
点
,乙离
点
,后来甲沿
的方向,乙沿
的方向,同时以
的速度步行.求:
(1)起初两人的距离是多少?
(2)后两人的距离是多少?
(3)什么时候两人的距离最短?
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【题目】有两位射击运动员在一次射击测试中各射靶7次,每次命中的环数如下:
甲 7 8 10 9 8 8 6 乙 9 10 7 8 7 7 8
则下列判断正确的是( )
A. 甲射击的平均成绩比乙好 B. 甲射击的成绩的众数小于乙射击的成绩的众数
C. 乙射击的平均成绩比甲好 D. 甲射击的成绩的极差大于乙射击的成绩的极差
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【题目】一位数学老师在黑板上写了三个向量,
,
,其中
,
都是给定的整数.老师问三位学生这三个向量的关系,甲回答:“
与
平行,且
与
垂直”,乙回答:“
与
平行”,丙回答:“
与
不垂直也不平行”,最后老师发现只有一位学生判断正确,由此猜测
,
的值不可能为( )
A. ,
B.
,
C.
,
D.
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【题目】某公司为了解广告投入对销售收益的影响,在若干地区各投入万元广告费用,并将各地的销售收益(单位:万元)绘制成如图所示的频率分布直方图.由于工作人员操作失误,横轴的数据丢失,但可以确定横轴是从
开始计数的.
广告投入 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
销售收益 | 2 | 3 | 2 | 5 | 7 |
(Ⅰ)根据频率分布直方图计算图中各小长方形的宽度;
(Ⅱ)该公司按照类似的研究方法,测得另外一些数据,并整理得到上表:
表中的数据显示与
之间存在线性相关关系,求
关于
的回归方程;
(Ⅲ)若广告投入万元时,实际销售收益为
万元,求残差
.
附:,
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