分析 (Ⅰ)推导出EF⊥AE,EF⊥C'E,从而EF⊥平面AEC',由此能证明AB⊥平面AEC'.
(Ⅱ)(i)取AC'中点D,连接DE,EF,FG,GD,推导出四边形DEFG 为平行四边形,直线GF 与AC'所成角就是DE 与AC'所成角,由此能求出直线GF 与AC'所成角.
(ii) 分别以EA、EF、EC'所在直线为x 轴、y 轴、z 轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出平面C'AE与平面C'BF的平面角的夹角的余弦值.
解答 证明:(Ⅰ)因为△ABC 是等腰直角三角形,∠CAB=90°,E,F 分别为AC,BC 的中点,
所以EF⊥AE,EF⊥C'E.
又因为AE∩C'E=E,所以EF⊥平面AEC'.
由于EF∥AB,所以有AB⊥平面AEC'.4分
解:(Ⅱ)(i)取AC'中点D,连接DE,EF,FG,GD,
由于GD 为△ABC'中位线,以及EF 为△ABC 中位线,
所以四边形DEFG 为平行四边形.
直线GF 与AC'所成角就是DE 与AC'所成角.
所以四棱锥C'-ABFE 体积取最大值时,C'E 垂直于底面ABFE.
此时△AEC'为等腰直角三角形,
ED 为中线,所以直线ED⊥AC'.
又因为ED∥GF,所以直线GF 与AC'所成角为$\frac{π}{2}$.10分
(ii) 因为四棱锥C'-ABFE 体积取最大值,
分别以EA、EF、EC'所在直线为x 轴、y 轴、z 轴,建立空间直角坐标系如图,
则C'(0,0,a),B(a,2a,0),F(0,a,0),C'B(a,2a,-a),C'F(0,a,-a).
设平面C'BF 的一个法向量为$\overrightarrow{n}$=(x,y,z),
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{{C}^{'}B}=ax+2ay-az=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{{C}^{'}F}=ay-az=0}\end{array}\right.$得,取y=1,得$\overrightarrow{n}$=(-1,1,1).
平面C'AE 的一个法向量$\overrightarrow{m}$=(0,1,0).
所以cos<$\overrightarrow{m},\overrightarrow{n}$>=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$,
故平面C'AE与平面C'BF的平面角的夹角的余弦值为$\frac{\sqrt{3}}{3}$.14分
点评 本题考查线面垂直的证明,考查线线角的求法,考查二面角的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意向量法的合理运用.
科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | $\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}+\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}$ | B. | $\frac{5}{3}\overrightarrow{AB}-\frac{2}{3}\overrightarrow{AC}$ | C. | $\frac{2}{3}\overrightarrow{AC}-\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}$ | D. | $\frac{2}{3}\overrightarrow{AC}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}$ |
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商店名称 | A | B | C | D | E |
销售额x/千万 | 3 | 5 | 6 | 7 | 9 |
利润额y/百万元 | 2 | 3 | 3 | 4 | 5 |
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A. | $\frac{π}{12}$ | B. | $\frac{π}{6}$ | C. | $\frac{π}{4}$ | D. | $\frac{π}{3}$ |
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