Question

【题目】已知函数f（x）=xlnx
（1）求f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）若函数 在[1，e]上的最小值为 ，求a的值；
（3）若k∈Z，且f（x）+x﹣k（x﹣1）＞0对任意x＞1恒成立，求k的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（x）=xlnx∴f′（x）=lnx+1

∴f′（1）=1，f（1）=0

则切线方程为y﹣0=1（x﹣1），即y=x﹣1

（2）解：F（x）=lnx﹣ ，F′（x）= ，

①当a≥0时，F′（x）＞0，F（x）在[1，e]上单调递增，F（x）在[1，e]上的最小值为F（1）=﹣a= ，解得a=﹣ （0，+∞），故舍去．

②当a∈（﹣1，0）时，F（x）在[1，e]上单调递增，F（x）在[1，e]上的最小值为F（1）=﹣a= ，解得a=﹣ （﹣1，0），故舍去

③当a∈[﹣e，﹣1]时，F（x）在[1，﹣a]上单调递减，F（x）在[﹣a，e]上递增，F（x）在[1，e]上的最小值为F（﹣a）=ln（﹣a）+1=

解得a=﹣ ∈[﹣e，﹣1]，故符合题意．

④当a∈（﹣∞，﹣e）时，F（x）在[1，e]上单调递减，F（x）在[1，e]上的最小值为F（e）=1﹣ = ，解得a=﹣ （﹣∞，﹣e），故舍去

综上：a=﹣

（3）解：令g（x）=f（x）+x﹣k（x﹣1）=xlnx+x﹣k（x﹣1）（x＞1）g'（x）=lnx+2﹣k（x＞1）

①当k≤2时，g'（x）＞0在（1，+∞）上恒成立，g（x）在（1，+∞）上恒成立，g（x）min=g（1）=1＞0

②当k＞2时，令g'（x）=0得x=ek﹣2

当x变化时，g'（x）、g（x）变化情况如下表：

x	（1，ek﹣2）	ek﹣2	（ek﹣2，+∞）
g′（x）	﹣	0	+
g（x）	减函数	极小值	增函数

∴ 即ek﹣2（k﹣2）+ek﹣2﹣k（ek﹣2﹣1）＞0

即k＞ek﹣2，∴lnk＞k﹣2，∴lnk﹣k+2＞0，

令h（k）=lnk﹣k+2，（k＞0）．

h′（k）= ，当k∈（0，1）时，h（k）递增，k∈（1，+∞）递减，

且h（1）=1＞0，h（2）=ln2＞0，h（3）=ln3﹣1＞0，h（4）=ln4﹣2＜，0∴3＜k＜4

∴整数k的最大值是3

【解析】（1）由f′（x）=lnx+1，得f′（1）=1，由f（1）=0得切点，即可得切线方程．（2）F（x）=lnx﹣ ，F′（x）= ，分①当a≥0，②当a∈（﹣1，0），③当a∈[﹣e，﹣1]，④当a∈（﹣∞，﹣e） 求出F（x）的最小值，由最小值为 ，求解a．（3）令g（x）=f（x）+x﹣k（x﹣1）=xlnx+x﹣k（x﹣1）（x＞1），分 ①当k≤2，②当k＞2时，求出g（x）的最小值，最小值大于0即可求解k的最大值．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用函数的最大(小)值与导数的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值．