Question

3．已知函数f（x）在定义域[-1，1]上单调递减，又当a，b∈[-1，1]，且a+b=0时，f（a）+f（b）=0．
（Ⅰ）证明：f（x）是奇函数； 
（Ⅱ）求不等式f（1-m）+f（1-m²）＞0的解集．

Answer 1

分析 （Ⅰ）令b=-a，结合奇函数的定义，即可得证；
（Ⅱ）解此不等式的基本思路是f（1-m）+f（1-m²）＞0可化为f（1-m）＞-f（1-m²）=f（m²-1），然后利用单调性转化为自变量的大小关系，要注意定义域．

解答 解：（Ⅰ）证明：∵当a，b∈[-1，1]，且a+b=0时，f（a）+f（b）=0，
∴令b=-a，可得f（a）+f（-a）=0，
即f（-a）=-f（a），
∴f（x）是定义域为[-1，1]的奇函数；
（Ⅱ）由（1）得不等式f（1-m）+f（1-m²）＞0
可化为f（1-m）＞-f（1-m²）=f（m²-1），
又∵f（x）在定义域[-1，1]上单调递减，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-1≤1-m≤1}\\{-1≤{m}^{2}-1≤1}\\{1-m＜{m}^{2}-1}\end{array}\right.$即为$\left\{\begin{array}{l}{0≤m≤2}\\{-\sqrt{2}≤m≤\sqrt{2}}\\{m＞1或m＜-2}\end{array}\right.$
解得1＜m≤$\sqrt{2}$，
∴不等式f（1-m）+f（1-m²）＞0的解集为（1，$\sqrt{2}$]．

点评 本题考查函数的奇偶性和单调性的判断和运用：解不等式，考查运算能力，注意定义域的运用，属于中档题和易错题．