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已知直四棱柱ABCD—A′B′C′D′的底面是菱形,,E、F分别是棱CC′与BB′上的点,且EC=BC=2FB=2.

(1)求证:平面AEF⊥平面AA′C′C;
(2)求截面AEF与底面ABCD所成二面角的大小.
(1)以O为原点,分别为x,y,z轴建立直角坐标系, M(0,0,1)F(,0,1)=(,0,0), MF⊥平面,所以平面AEF⊥平面(2)

试题分析:(1)以O为原点,分别为x,y,z轴建立直角坐标系,
由条件知:EC=BC=2,FB=1,OA=1,OB=
从而坐标E(0,1,2),F(,0,1).
(1)连结AE与交于M,连结MF,
可得,M(0,0,1),
=(,0,0).
则MF⊥平面yOz,即MF⊥平面
所以平面AEF⊥平面.
(2)取EC中点G,得平面MFG∥底面ABCD,
所以只要求面AEF与面MFG所成的二面角即可.

,可见是面AEF与面MFG所成二面角的平面角.
在Rt△MGE中,EG=1,MG=1,ME=,显然,所求二面角为.
点评:本题利用向量求解较简单,坐标原点在底面对角线交点处
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