Question

设a∈R，f（x）为奇函数，且f（x）=

a•2x-a-2

2x+1

（1）求a的值；
（2）求函数f（x）的反函数f^-1（x）；
（3）设g（x）=log 

2

1+x

k

，若x∈[

1

2

，

2

3

]时，有f^-1（x）≤g（x）恒成立，求k的取值范围．

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质,函数恒成立问题,反函数

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据f（x）为R上的奇函数，便有f（0）=0，从而可求得a=1；
（2）求出f（x）=

2x-1

2x+1

，设y=f（x），从而可解出x=log2

1+y

1-y

，从而得到f^-1（x）=log2

1+x

1-x

；
（3）换底公式求出g（x）=log2(

1+x

k

)2，根据已知条件从而得到k²≤-x²+1在x∈[

1

2

，

2

3

]上恒成立，从而可得到k2≤

5

9

，再根据

1+x

k

＞0在[

1

2

，

2

3

]上恒成立便得到0＜k≤

5

3

．

解答： 解：（1）f（x）为奇函数；
∴f（0）=0；
∴

a-a-2

2

=0；
解得a=1；
（2）f（x）=

2x-1

2x+1

；
设y=

2x-1

2x+1

，解x=log2

y+1

1-y

；
∴f-1(x)=log2

x+1

1-x

；
（3）g（x）=

log2 1+x k

log2 2

=log2(

1+x

k

)2；
∴由f^-1（x）≤g（x）得，log2

x+1

1-x

≤log2(

1+x

k

)2；
∴

x+1

1-x

≤(

1+x

k

)2；
∴x∈[

1

2

，

2

3

]时k²≤-x²+1恒成立；
x=

2

3

时，-x²+1取最小值

5

9

；
∴k2≤

5

9

；
∴-

5

3

≤k≤

5

3

；
又

1+x

k

＞0在x∈[

1

2

，

2

3

]上恒成立知k＞0；
∴0＜k≤

5

3

；
∴k的取值范围为（0，

5

3

]．

点评：考查奇函数f（x）在原点有定义时f（0）=0，反函数的概念及求反函数的方法与过程，以及二次函数在闭区间上的最值，对数函数的单调性．