【题目】在△ABC中,角A,B,C对应的边分别是a,b,c,已知cos2A﹣3cos(B+C)=1.
(Ⅰ)求角A的大小;
(Ⅱ)若△ABC的面积S=5 ,b=5,求sinBsinC的值.
【答案】解:(Ⅰ)由cos2A﹣3cos(B+C)=1,得2cos2A+3cosA﹣2=0,
即(2cosA﹣1)(cosA+2)=0,解得 (舍去).
因为0<A<π,所以 .
(Ⅱ)由S= =
=
,得到bc=20.又b=5,解得c=4.
由余弦定理得a2=b2+c2﹣2bccosA=25+16﹣20=21,故 .
又由正弦定理得
【解析】(Ⅰ)利用三角函数积化和差与和差化积化简cos2A﹣3cos(B+C)=1,进而求得∠A的余弦值,即可求得∠A的值;(Ⅱ)先根据三角形面积及b的值求得c的值,再由余弦定理求得a的值,利用正弦定理求得sinB与sinC的值,即可求解.
【考点精析】本题主要考查了正弦定理的定义和余弦定理的定义的相关知识点,需要掌握正弦定理:;余弦定理:
;
;
才能正确解答此题.
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【题目】如果函数在定义域内存在区间
,使得该函数在区间
上的值域为
,则称函数
是该定义域上的“和谐函数”.
(1)求证:函数是“和谐函数”;
(2)若函数是“和谐函数”,求实数
的取值范围.
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【题目】已知点,圆
.
(Ⅰ)若直线过点
且到圆心
的距离为1,求直线
的方程;
(Ⅱ)设过点的直线
与圆
交于
两点(
的斜率为正),当
时,求以线段
为直径的圆的方程.
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【题目】某厂生产某种零件,每个零件的成本为40元,出厂单价定为60元.该厂为鼓励销售商订购,决定当一次订购量超过100个时,每多订购一个,订购的全部零件的出厂单价就降低0.02元,但实际出厂单价不能低于51元.
(1)当一次订购量为多少个时,零件的实际出厂单价恰降为51元?
(2)设一次订购量为个,零件的实际出厂单价为
元,写出函数
的表达式;
(3)当销售商一次订购500个零件时,该厂获得的利润是多少元? (工厂售出一个零件的利润=实际出厂单价-单件成本)
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【题目】如图,在四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,AP=AB=2,BC=2 ,E,F分别是AD,PC的中点.
(1)证明:PC⊥平面BEF;
(2)求平面BEF与平面BAP所成的锐二面角的余弦值.
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【题目】如图,在三棱锥V﹣ABC中,平面VAB⊥平面ABC,△VAB为等边三角形,AC⊥BC且AC=BC=,O,M分别为AB,VA的中点.
(1)求证:VB∥平面MOC;
(2)求证:平面MOC⊥平面VAB
(3)求三棱锥V﹣ABC的体积.
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