Question

对于函数f（x），若存在区间M=[a，b]，（a＜b），使得{y|y=f（x），x∈M}=M，则称区间M为函数f（x）的一个“稳定区间”．下列所给出的函数中不存在“稳定区间”的是（　　）

• A、f（x）=e^x
• B、f（x）=x²
• C、f（x）=cos

  π

  2

  x
• D、f（x）=x

Answer 1

考点：函数的值域

专题：新定义,函数的性质及应用

分析：根据函数“稳定区间”的定义，即存在区间M使函数的定义域与值域均为M．由此对4个函数逐一加以研究，
可得对于函数f（x）=x²存在M=[0，1]符合题意；
函数f（x）=cos

π

2

x存在M=[0，1]符合题意；
而函数f（x）=e^x不存在“稳定区间”．
f（x）=x有很多稳定区间，

解答： 解：①对于A，因为f（x）=e^x是R上的增函数，
且e^x＞x恒成立，故不存在区间M=[a，b]使得当x∈M时值域恰好是M
因此可得．f（x）=e^x．不存在稳定区间．
②f（x）=x²，存在稳定区间[0，1]，
③∵函数在（0，1）上是减函数，且f（0）=cos0=1，f（1）=cos

π

2

=0
∴当区间M=[0，1]时，可得函数的值域为=M，可得f（x）=cos

π

2

x存在稳定区间[0，1]，
④f（x）=x有很多稳定区间，
故选：A

点评：本题给出函数“稳定区间”的概念，要我们在几个函数中找出存在“稳定区间”函数的个数．着重考查了基本初等函数的图象与性质、函数的定义域与值域等知识，属于中档题．