Question

已知函数f（x）=log_a（x+1），g（x）=log_a（1-x），θ（x）=

4

x

+x
（1）当0＜a＜1时，解不等式，2f（x）-g（x）≥0
（2）证明：函数θ（x）在x∈（0，2]单调递减；
（3）当a＞1，x∈[0，1]时，总有2f（x）+m≥g（x）恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：函数恒成立问题,函数单调性的判断与证明,指、对数不等式的解法

专题：导数的综合应用

分析：（1）先求出函数定义域，根据对数的图象和性质，得到不等式，解得即可；
（2）利用导数和函数的单调性的关系即可判断，
（3）分离参数，构造函数h（x）=

1-x

(x+1)2

，利用导数求出函数的最大值即可．

解答： 解：（1）∵函数f（x）=log_a（x+1），g（x）=log_a（1-x），
设F（x）=2f（x）-g（x），
∴F（x）的定义域为（-1，1），
∵2f（x）-g（x）≥0，
即2log_a（x+1）≥log_a（1-x），
即log_a（x+1）²≥log_a（1-x），
∵0＜a＜1，
∴（x+1）²≤1-x，
解得-1＜x≤0，
故不等式，2f（x）-g（x）≥0的解集为（-1，0]
（2）∵θ（x）=

4

x

+x，
∴θ′（x）=1-

4

x2

=

(x-2)(x+2)

x2

，
当θ′（x）≤0时，即-2≤x＜0，或0＜x≤2，函数单调递减，
故函数θ（x）在x∈（0，2]单调递减；
（3）∵2f（x）+m≥g（x）恒成立，
∴m≥g（x）-2f（x）=log_a（1-x）-log_a（x+1）²=log_a

1-x

(x+1)2

，
设h（x）=

1-x

(x+1)2

，
∴h′（x）=

(x-3)(x+1)

(x+1)2

，
当h′（x）≤0时，即-1≤x≤3时，函数h（x）单调递减，
即函数h（x）在∈[0，1]单调递减，
当x=0时，h（x）_max=1，
∵a＞1，
∴log_a

1-x

(x+1)2

∈[0，1]单调递减，
∴log_a

1-x

(x+1)2

≤0，
∴m≥0，
故m的取值范围为[0，+∞）

点评：本题考查了导数和函数的单调性最值的关系，以及不等式的解法，函数恒成立的问题，培养了学生的转化能力，和运算能力，属于中档题