Question

13．设x＞0，则“a=1”是“x+$\frac{a}{x}$≥2恒成立”的（　　）

• A． 充分不必要条件
• B． 必要不充分条件
• C． 充分必要条件
• D． 既不充分也不必要条件

Answer 1

分析 先求命题“对任意的正数x，不等式x+$\frac{a}{x}$≥2成立”的充要条件，再利用集合法判断两命题间的充分必要关系

解答 解：∵x＞0，若a≥1，则x+$\frac{a}{x}$≥2$\sqrt{a}$≥2恒成立，
若“x+$\frac{a}{x}$≥2恒成立，即x²-2x+a≥0恒成立，
设f（x）=x²-2x+a，则△=（-2）²-4a≤0，或$\left\{\begin{array}{l}{△=（-2）^{2}-4a≥0}\\{f（0）=a＞0}\end{array}\right.$，
解得：a≥1，
故“a=1”是“x+$\frac{a}{x}$≥2“恒成立的充分不必要条件，
故选：A．

点评 本题考查了命题充要条件的判断方法，求命题充要条件的方法，不等式恒成立问题的解法，转化化归的思想方法．