Question

△ABC中，角A，B，C所对的边为a，b，c．若b²=ac，则

sinA+cosAtanC

sinB+cosBtanC

的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：余弦定理,正弦定理

专题：三角函数的求值

分析：原式利用同角三角函数间基本关系化简，整理后利用诱导公式化简，再利用正弦定理化简得到结果，根据b²=ac，分两种情况考虑：当a≤b≤c时，得到

b

a

≥1，求出

b

a

的范围；当当c≤b≤a时，同理得到

b

a

的范围，即可确定出所求式子的范围．

解答： 解：原式=

sinAcosC+cosAsinC

sinBcosC+cosBsinC

=

sin(A+C)

sin(B+C)

=

sinB

sinA

=

b

a

，
由b²=ac，分两种情况考虑：当a≤b≤c时，得到

b

a

≥1，
∵a+b＞c，
∴a（a+b）=a²+ab＞ac=b²，
两边除以a²，得：1+

b

a

＞（

b

a

）²，
解得：1≤

b

a

＜

1+ 5

2

；
当c≤b≤a时，同理得到

5 -1

2

＜

b

a

≤1，
综上，

sinA+cosAtanC

sinB+cosBtanC

的取值范围是（

5 -1

2

，

5 +1

2

）．
故答案为：（

5 -1

2

，

5 +1

2

）

点评：此题考查了正弦、余弦定理，两角和与差的正弦公式以及诱导公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．