Question

19．已知函数f（x）=log_a$\frac{x-5}{x+5}$，（a＞0且a≠1）．
（1）求函数的定义域；
（2）判断f（x）的奇偶性，并加以证明；
（3）当a＞0，f（x）＜0，求x的值．

Answer 1

分析 （1）根据对数函数的定义与性质，列出不等式，求出解集即可；
（2）根据奇偶性的定义判断和证明f（x）是定义域上的奇函数；
（3）讨论1＞a＞0与a＞1时，求出不等式f（x）＜0的解集即可．

解答 解：（1）函数f（x）=log_a$\frac{x-5}{x+5}$，（a＞0且a≠1），
∴$\frac{x-5}{x+5}$＞0，
它等价于（x-5）（x+5）＞0，
解得x＜-5或x＞5，
∴函数f（x）的定义域为（-∞，-5）∪（5，+∞）；
（2）f（x）是定义域（-∞，-5）∪（5，+∞）上的奇函数，
证明如下，任取x∈（-∞，-5）∪（5，+∞），
则f（-x）=log_a$\frac{-x-5}{-x+5}$=log_a$\frac{x+5}{x-5}$=-log_a$\frac{x-5}{x+5}$=-f（x），
∴f（x）是定义域（-∞，-5）∪（5，+∞）上的奇函数；
（3）当1＞a＞0时，f（x）＜0等价于$\frac{x-5}{x+5}$＞1，
即$\frac{x-5}{x+5}$-1＞0，
化简得$\frac{-10}{x+5}$＞0，
解得x＜-5；
当a＞1时，f（x）＜0等价于0＜$\frac{x-5}{x+5}$＜1，
即$\left\{\begin{array}{l}{\frac{x-5}{x+5}＞0}\\{\frac{x-5}{x+5}＜1}\end{array}\right.$，
解得x＞5；
综上，1＞a＞0时，f（x）＜0的解集是（-∞，-5），
a＞1时，f（x）＜0的解集是（5，+∞）．

点评 本题考查了对数函数的图象与性质的应用问题，也考查了判断与证明函数的奇偶性问题，考查了分类讨论思想的应用问题，是综合性题目．