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19.已知函数f(x)=loga$\frac{x-5}{x+5}$,(a>0且a≠1).
(1)求函数的定义域;
(2)判断f(x)的奇偶性,并加以证明;
(3)当a>0,f(x)<0,求x的值.

分析 (1)根据对数函数的定义与性质,列出不等式,求出解集即可;
(2)根据奇偶性的定义判断和证明f(x)是定义域上的奇函数;
(3)讨论1>a>0与a>1时,求出不等式f(x)<0的解集即可.

解答 解:(1)函数f(x)=loga$\frac{x-5}{x+5}$,(a>0且a≠1),
∴$\frac{x-5}{x+5}$>0,
它等价于(x-5)(x+5)>0,
解得x<-5或x>5,
∴函数f(x)的定义域为(-∞,-5)∪(5,+∞);
(2)f(x)是定义域(-∞,-5)∪(5,+∞)上的奇函数,
证明如下,任取x∈(-∞,-5)∪(5,+∞),
则f(-x)=loga$\frac{-x-5}{-x+5}$=loga$\frac{x+5}{x-5}$=-loga$\frac{x-5}{x+5}$=-f(x),
∴f(x)是定义域(-∞,-5)∪(5,+∞)上的奇函数;
(3)当1>a>0时,f(x)<0等价于$\frac{x-5}{x+5}$>1,
即$\frac{x-5}{x+5}$-1>0,
化简得$\frac{-10}{x+5}$>0,
解得x<-5;
当a>1时,f(x)<0等价于0<$\frac{x-5}{x+5}$<1,
即$\left\{\begin{array}{l}{\frac{x-5}{x+5}>0}\\{\frac{x-5}{x+5}<1}\end{array}\right.$,
解得x>5;
综上,1>a>0时,f(x)<0的解集是(-∞,-5),
a>1时,f(x)<0的解集是(5,+∞).

点评 本题考查了对数函数的图象与性质的应用问题,也考查了判断与证明函数的奇偶性问题,考查了分类讨论思想的应用问题,是综合性题目.

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