【题目】已知函数f(x)= cos2x﹣2cos2(x+ )+1.
(Ⅰ)求f(x)的单调递增区间;
(Ⅱ)求f(x)在区间[0, ]上的最值.
【答案】解:(Ⅰ)函数f(x)= cos2x﹣2cos2(x+ )+1
= cos2x﹣cos(2x+ )
= cos2x+sin2x
=2sin(2x+ );
令2kπ﹣ ≤2x+ ≤2kπ+ ,k∈Z,
解得kπ﹣ ≤x≤kπ+ ,k∈Z,
∴f(x)的单调递增区间为[kπ﹣ ,kπ+ ](k∈Z);
(Ⅱ)当x∈[0, ]时,2x+ ∈[ , ],
∴sin(2x+ )∈[﹣ ,1],
∴f(x)在区间[0, ]上的最大值为2,最小值为﹣ ;
且x= 时f(x)取得最大值2,x= 时f(x)取得最小值﹣
【解析】(Ⅰ)化函数f(x)为正弦型函数,根据正弦函数的单调性求出f(x)的单调递增区间;(Ⅱ)求出x∈[0, ]时,sin(2x+ )的取值范围,
即可求出f(x)的最大、最小值.
【考点精析】解答此题的关键在于理解正弦函数的单调性的相关知识,掌握正弦函数的单调性:在上是增函数;在上是减函数,以及对三角函数的最值的理解,了解函数,当时,取得最小值为;当时,取得最大值为,则,,.
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【题目】[选修4-4:坐标系与参数方程]设在平面上取定一个极坐标系,以极轴作为直角坐标系的x轴的正半轴,以θ= 的射线作为y轴的正半轴,以极点为坐标原点,长度单位不变,建立直角坐标系,已知曲线C的直角坐标方程为x2+y2=2,直线l的参数方程 (t为参数).
(1)写出直线l的普通方程与曲线C的极坐标方程;
(2)设平面上伸缩变换的坐标表达式为 ,求C在此变换下得到曲线C'的方程,并求曲线C′内接矩形的最大面积.
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【题目】如图,四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD是平行四边形,∠ACB=90°,平面PAD⊥平面ABCD,PA=BC=1,PD=AB= ,E、F分别为线段PD和BC的中点.
(Ⅰ)求证:CE∥平面PAF;
(Ⅱ)在线段BC上是否存在一点G,使得平面PAG和平面PGC所成二面角的大小为60°?若存在,试确定G的位置;若不存在,请说明理由.
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【题目】定义max{a,b}= ,已知函数f(x)=max{|2x﹣1|,ax2+b},其中a<0,b∈R,若f(0)=b,则实数b的范围为 , 若f(x)的最小值为1,则a+b= .
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【题目】已知数列{an}中,a1=4,an+1= ,n∈N* , Sn为{an}的前n项和.
(Ⅰ)求证:n∈N*时,an>an+1;
(Ⅱ)求证:n∈N*时,2≤Sn﹣2n< .
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【题目】已知函数f(x)与g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数,且f(x)﹣g(x)=x3﹣2﹣x , 则f(2)+g(2)=( )
A.4
B.﹣4
C.2
D.﹣2
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【题目】已知数列{an}的前n项和为Sn , a1= ,Sn=n2an﹣n(n﹣1),n=1,2,…
(1)证明:数列{ Sn}是等差数列,并求Sn;
(2)设bn= ,求证:b1+b2+…+bn< .
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【题目】三棱锥P﹣ABC中,PA、PB、PC互相垂直,PA=PB=1,M是线段BC上一动点,若直线AM与平面PBC所成角的正切的最大值是 ,则三棱锥P﹣ABC的外接球的表面积是( )
A.2π
B.4π
C.8π
D.16π
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【题目】设a,b∈R,函数 ,g(x)=ex(e为自然对数的底数),且函数f(x)的图象与函数g(x)的图象在x=0处有公共的切线.
(Ⅰ)求b的值;
(Ⅱ)讨论函数f(x)的单调性;
(Ⅲ)若g(x)>f(x)在区间(﹣∞,0)内恒成立,求a的取值范围.
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