Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC⊥BC，AC=BC=1，CC₁=2，点D、E分别是AA₁、CC₁的中点．
（1）求证：AE∥平面BC₁D；
（2）证明：平面BC₁D⊥平面BCD；
（3）求CD与平面BC₁D所成角的正切值．

Answer 1

（1）证明：在矩形ACC₁A₁中，
∵C₁E∥AD，C₁E=AD，∴四边形AEC₁D是平行四边形，∴AE∥DC₁，…（2分）
又AE?平面BC₁D，C₁D?平面BC₁D，∴AE∥平面BC₁D…（3分）
（2）证明：直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∵BC⊥CC₁，AC⊥BC，CC₁∩AC=C，
∴BC⊥平面ACC₁A₁，
∵C₁D?平面ACC₁A₁，∴BC⊥C₁D．…（6分）
在矩形ACC₁A₁中，，从而，∴C₁D⊥DC，…（8分）
又DC∩BC=C，∴C₁D⊥平面BCD，…（9分）
∵C₁D?平面BC₁D，∴平面BC₁D⊥平面BCD…（10分）
（3）解：由（2）可知平面BC₁D⊥平面BCD，所以斜线CD在平面BC₁D的射影在BD上，∠BDC为所求 …（12分）
又由（2）可知，所以BC⊥平面ACC₁A₁，所以BC⊥CD
所以，三角形BCD是直角三角形，，∴tan∠BDC=…（14分）
另解：以C₁为原点，C₁A₁，C₁B₁，C₁C为x，y，z轴建立直角坐标系，则 C（0，0，2），D（1，0，1），C₁（0，0，0），B（0，1，2）则
设平面BC₁D的法向量为
由，得 x+1=0；由得 y+2=0
由以上两式解得x=-1，y=-2，∴…（12分）
设与夹角的为θ，则=，所以，所以所求值为…（14分）
分析：（1）证明AE∥平面BC₁D，利用线面平行的判定，证明AE∥DC₁即可；
（2）证明平面BC₁D⊥平面BCD，利用面面垂直的判定，证明C₁D⊥平面BCD即可；
（3）∠BDC为所求CD与平面BC₁D所成的角，在直角三角形BCD中可求；
另解：建立空间直角坐标系，求得平面BC₁D的法向量，利用向量的夹角公式即可求解．
点评：本题考查线面平行，考查面面垂直，考查线面角，解题的关键是正确运用线面平行，面面垂直的判定定理，属于中档题．