Question

已知在直四棱柱ABCDA₁B₁C₁D₁中，底面ABCD为直角梯形，且满足AD⊥AB，BC∥AD，AD=16，AB=8，BB₁=8，E，F分别是线段A₁A，BC上的点．
（1）若A₁E=5，BF=10，求证：BE∥平面A₁FD．
（2）若BD⊥A₁F，求三棱锥A₁AB₁F的体积．

Answer 1

证明：（1）过E作EG∥AD交A₁D于G，连接GF．
∵=，∴=，∴EG=10=BF．
∵BF∥AD，EG∥AD，∴BF∥EG．
∴四边形BFGE是平行四边形．
∴BE∥FG．（4分）
又FG?平面A₁FD，BE?平面A₁FD，
∴BE∥平面A₁FD．（6分）
（2）∵在直四棱柱ABCDA₁B₁C₁D₁中，A₁A⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，
∴A₁A⊥BD．
由已知，BD⊥A₁F，AA₁∩A₁F=A₁，
∴BD⊥平面A₁AF．
∴BD⊥AF．（8分）
∵梯形ABCD为直角梯形，且满足AD⊥AB，BC∥AD，
∴在Rt△BAD中，tan∠ABD==2．
在Rt△ABF中，tan∠BAF==．
∵BD⊥AF，∴∠ABD+∠BAF=，
∴=，BF=4．（10分）
∵在直四棱柱ABCDA₁B₁C₁D₁中，A₁A⊥平面ABCD，∴平面AA₁B₁B⊥平面ABCD，
又平面ABCD∩平面AA₁B₁B=AB，∠ABF=90°，
∴FB⊥平面AA₁B₁B，即BF为三棱锥FA₁B₁A的高．（12分）
∵∠AA₁B₁=90°，AA₁=BB₁=8，A₁B₁=AB=8，
∴S△AA₁B₁=32．
∴V_{三棱锥A1AB1F}=V_{三棱锥FA1B1A}=×S_△AA1B1×BF=．（14分）
分析：（1）欲证BE∥平面A₁FD，只需证平面A₁FD外一直线与平面A₁FD内一直线平行，过E作EG∥AD交A₁D于G，连接GF，根据比例关系可证得四边形BFGE是平行四边形，则BE∥FG，又FG?平面A₁FD，BE?平面A₁FD，满足定理所需条件；
（2）先证明FB⊥平面AA₁B₁B，从而BF为三棱锥FA₁B₁A的高，然后根据V_{三棱锥A1AB1F}=V_{三棱锥FA1B1A}=×S_△AA1B1×BF进行求解即可．
点评：本题主要考查了线面平行的判定，以及锥体体积的计算，同时考查了推理论证的能力，属于中档题．