Question

已知椭圆的顶点与双曲线

x2

4

-

y2

12

=1的焦点重合，它们的离心率之和为

5

2

，若椭圆的焦点在x轴上，求椭圆的方程．

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：求出双曲线的焦点，即为椭圆的顶点，即可得到a，求出双曲线的离心率，可得椭圆的离心率，由离心率公式，可得c，再由a，b，c的关系，求得b，进而得到椭圆方程．

解答： 解：双曲线

x2

4

-

y2

12

=1的焦点为（±4，0），
则椭圆的顶点为（±4，0），
由椭圆的焦点在x轴上，则a=4，
双曲线的离心率为

4

2

=2，
由于它们的离心率之和为

5

2

，
则椭圆的离心率为

1

2

，即有c=2，
b=

a2-c2

=

16-4

=2

3

．
则有椭圆方程为

x2

16

+

y2

12

=1．

点评：本题考查椭圆和双曲线的方程和性质，考查离心率公式的运用，考查运算能力，属于基础题．