Question

【题目】如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，A1A⊥底面ABCD，四边形ABCD为梯形，AD∥BC，且AD=2BC，Q为BB1的中点，过A1 ， Q，D三点的平面记为α．
（1）证明：平面α与平面A1B1C1D1的交线平行于直线CD；
（2）若AA1=3，BC=CD= ，∠BCD=120°，求平面α与底面ABCD所成二面角的大小．

Answer 1

【答案】
（1）证明：如图，延长AB，DC交于点P，

∵AD∥BC，且AD=2BC，∴AB=BP，

又∵Q为BB1的中点，

∴A1，Q，P三点共线，此时平面α与平面ABCD的交线为CD，

又平面ABCD∥平面A1B1C1D1，根据面面平行的性质定理可得，

平面α与平面A1B1C1D1的交线平行于直线CD；

（2）解：在梯形ABCD中，∵BC=CD= ，∠BCD=120°，

∴BD=3， ， ，得 ， ，

说明梯形ABCD是等腰梯形，

∴AC=BD=3，

可知△ADP为等边三角形，连接AC、A1C，则AC⊥CD，

又AA1⊥CD，∴CD⊥平面AA1C，

此时∠A1CA就是平面α与底面ABCD所成二面角的平面角，

在直角△A1CA中，AC=AA1=3，∴ ，

即平面α与底面ABCD所成二面角的大小为 ．

【解析】（1）延长AB，DC交于点P，由已知可得AD∥BC，且AD=2BC，则AB=BP，得到A1，Q，P三点共线，此时平面α与平面ABCD的交线为CD，再由面面平行的性质可得平面α与平面A1B1C1D1的交线平行于直线CD；（2）在梯形ABCD中，由已知求得ABCD是等腰梯形，进一步得到△ADP为等边三角形，连接AC、A1C，则AC⊥CD，可得∠A1CA就是平面α与底面ABCD所成二面角的平面角，在直角△A1CA中，求得 ，即平面α与底面ABCD所成二面角的大小为 ．
【考点精析】解答此题的关键在于理解平面与平面平行的判定的相关知识，掌握判断两平面平行的方法有三种:用定义；判定定理；垂直于同一条直线的两个平面平行．