Question

（2010•天津模拟）设O为坐标原点，点P的坐标（x-2，x-y）
（I）在一个盒子中，放有标号为1，2，3的三张卡片，现从此盒中有放回地先后抽到两张卡片的标号分别记为x，y，求|OP|的最大值，并求事件“|OP|取到最大值”的概率；
（II）若利用计算机随机在[0，3]上先后取两个数分别记为x，y，求P点在第一象限的概率．

Answer 1

分析：（1）记先后抽到的两张卡片的标号为（x，y），列出所有情形，然后分别求出|OP|的值，从而得到最大值；
（2）求出点P落在第一象限所构成区域的面积，然后求出基本事件空间所表示的区域的面积，计算出二者的比值即可．

解答：解：（I）记抽到的卡片标号为（x，y），所有的情况分别为，

（x，y）	（1，1）	（1，2）	（1，3）	（2，1）	（2，2）	（2，3）	（3，1）	（3，2）	（3，3）
P（x-2，x-y）	（-1，0）	（-1，-1）	（-1，-2）	（0，1）	（0，0）	（0，-1）	（1，2）	（1，1）	（1，0）
|OP|	1	2	5	1	0	1	5	2	1

共9种．由表格可知|OP|的最大值为

5

…（5分）
设事件A为“|OP|取到最大值”，则满足事件A的（x，y）有（1，3），（3，1）两种情况，
∴P(A)=

2

9

…（7分）
（II）设事件B为“P点在第一象限”
若

0≤x≤3 0≤y≤3

，则其所表示的区域面积为3×3=9
由题意可得事件B满足

0≤x≤3 0≤y≤3 x-2＞0 x-y＞0

，
即如图所示的阴影部分，
其区域面积为1×3-

1

2

×1×1=

5

2

∴P(B)=

5 2

9

=

5

18

…（12分）

点评：本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件（A）；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件（A）发生的概率．