Question

如图，在四面体ABOC中，OC⊥OA，OC⊥OB，∠AOB=120°，且OA=OB=OC=1
（Ⅰ）设为P为AC的中点，Q为AB上一点，使PQ⊥OA，并计算

AB

AQ

的值；
（Ⅱ）求二面角O-AC-B的平面角的余弦值．

Answer 1

分析：解法一：（1）要计算

AB

AQ

的值，我们可在平面OAB内作ON⊥OA交AB于N，连接NC．则根据已知条件结合平面几何中三角形的性质我们易得NB=ON=AQ，则易求出

AB

AQ

的值．
（2）要求二面角O-AC-B的平面角的余弦值，我们可连接PN，PO，根据三垂线定理，易得∠OPN为二面角O-AC-B的平面角，然后解三角形OPN得到二面角O-AC-B的平面角的余弦值．
解法二：取O为坐标原点，分别以OA，OC所在的直线为x轴，z轴，建立空间直角坐标系O-xyz，我们易根据已知给出四面体中各点的坐标，利用向量法进行求解，（1）由A、Q、B三点共线，我们可设

AQ

=λ

AB

(λ∈(0，1))，然后根据已知条件，构造关于λ的方程，解方程即可得到λ的值，即

AB

AQ

的值；
（2）要求二面角O-AC-B的平面角的余弦值，我们可以分别求出平面OAC及平面ABC的法向量，然后根据求二面角O-AC-B的平面角的余弦值等于两个法向量夹角余弦的绝对值进行求解．

解答：解：法一：
（Ⅰ）在平面OAB内作ON⊥OA交AB于N，连接NC．
又OA⊥OC，∴OA⊥平面ONC
∵NC?平面ONC，
∴OA⊥NC．
取Q为AN的中点，则PQ∥NC．
∴PQ⊥OA
在等腰△AOB中，∠AOB=120°，
∴∠OAB=∠OBA=30°
在Rt△AON中，∠OAN=30°，
∴ON=

1

2

AN=AQ
在△ONB中，∠NOB=120°-90°=30°=∠NBO，
∴NB=ON=AQ．
∴

AB

AQ

=3

解：（Ⅱ）连接PN，PO，
由OC⊥OA，OC⊥OB知：OC⊥平面OAB．
又ON?平面OAB，
∴OC⊥ON
又由ON⊥OA，ON⊥平面AOC．
∴OP是NP在平面AOC内的射影．
在等腰Rt△COA中，P为AC的中点，
∴AC⊥OP
根据三垂线定理，知：
∴AC⊥NP
∴∠OPN为二面角O-AC-B的平面角
在等腰Rt△COA中，OC=OA=1，∴OP=

2

2

在Rt△AON中，ON=OAtan30°=

3

3

，
∴在Rt△PON中，PN=

OP2 +ON2

=

30

6

．
∴cos∠OPN=

PO

PN

=

2 2

30 6

=

15

5

解法二：
（I）取O为坐标原点，分别以OA，OC所在的直线为x轴，z轴，
建立空间直角坐标系O-xyz（如图所示）
则A(1，0，0)，C(0，0，1)，B(-

1

2

，

3

2

，0)
∵P为AC中点，∴P(

1

2

，0，

1

2

)
设

AQ

=λ

AB

(λ∈(0，1))，∵

AB

=(-

3

2

，

3

2

，0)．
∴

OQ

=

OA

+

AQ

=(1，0，0)+λ(-

3

2

，

3

2

，0)=(1-

3

2

λ，

3

2

λ，0)，
∴

PQ

=

OQ

-

OP

=(

1

2

-

3

2

λ，

3

2

λ，-

1

2

)．
∵

PQ

⊥

OA

，
∴

PQ

，

OA

=0即

1

2

-

3

2

λ=0，λ=

1

3

．
所以存在点Q(

1

2

，

3

6

，0)使得PQ⊥OA且

AB

AQ

=3．
（Ⅱ）记平面ABC的法向量为

n

=（n₁，n₂，n₃），则由

n

⊥

CA

，

n

⊥

AB

，且

CA

=(1，0，-1)，
得

n1-n3=0 - 3 2 n2+ 3 2 n3=0

，故可取

n

=(1，

3

，1)
又平面OAC的法向量为

e

=（0，1，0）．
∴cos＜

n

，

e

＞=

(1， 3 ，1)•(0，1，0)

5 •1

=

3

5

．
两面角O-AC-B的平面角是锐角，记为θ，则cosθ=

15

5

点评：空间两条直线夹角的余弦值等于他们方向向量夹角余弦值的绝对值；
空间直线与平面夹角的余弦值等于直线的方向向量与平面的法向量夹角的正弦值；
空间锐二面角的余弦值等于他的两个半平面方向向量夹角余弦值的绝对值；