Question

已知椭圆．F₁，F₂分别为椭圆C的左，右焦点，A₁，A₂分别为椭圆C的左，右顶点．过右焦点F₂且垂直于x轴的直线与椭圆C在第一象限的交点为M．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）直线l：x=my+1与椭圆C交于P，Q两点，直线A₁P与A₂Q交于点S．当直线l变化时，点S是否恒在一条定直线上？若是，求此定直线方程；若不是，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据过右焦点F₂且垂直于x轴的直线与椭圆C在第一象限的交点为M，可得，求出a²=9，b²=a²-c²=6，从而可得椭圆C的方程；
（2）利用特殊位置猜想结论，再进行一般性的证明．将直线方程代入椭圆方程，利用韦达定理可以证明．
解答：解：（1）∵过右焦点F₂且垂直于x轴的直线与椭圆C在第一象限的交点为M．
∴，b²=a²-c²=a²-3．
∵点在椭圆上，∴，
∴3a²-9+4a²=a⁴-3a²
∴a⁴-10a²+9=0，∴（a²-9）（a²-1）=0，
∴a²=9或a²=1＜c²（舍去）．
∴b²=a²-c²=6．
∴椭圆C的方程为．…（4分）
（2）当l⊥x轴时，，，又A₁（-3，0），A₂（3，0）
，，联立解得．
当l过椭圆的上顶点时，，，，，联立解得．
若定直线存在，则方程应是x=9．…（8分）
下面给予证明．
把x=my+1代入椭圆方程，整理得（2m²+3）y²+4my-16=0，△＞0成立，记P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则，．
，
当x=9时，纵坐标y应相等，，须
须2y₁（my₂-2）=y₂（my₁+4），须my₁y₂=4（y₁+y₂）
∵，．
∴成立．
综上，定直线方程为x=9．…（14分）
点评：本题考查椭圆的标准方程，考查探究性问题，解题的关键是利用特殊位置猜想结论，再进行证明．