Question

4．设函数f（x）=16x²-8x+1，且f（x）≤4 的解集为M，不等式$\frac{3x-4}{2x-1}$≤0的解集为N．
（1）求M∩N；
（2）设函数g（x）=x²（1-x）+x（1-x）²，当x∈M∩N时，求证：g（x）＜$\frac{1}{4}$．

Answer 1

分析 （1）由二次不等式的解法，可得M，由分式不等式的解法可得N，再由交集的定义，即可得到所求；
（2）化简g（x），运用二次函数的单调性，可得g（x）的值域，进而得到求证．

解答 解：（1）f（x）≤4，即为16x²-8x-3≤0，
解得-$\frac{1}{4}$≤x≤$\frac{3}{4}$，即有M=[-$\frac{1}{4}$，$\frac{3}{4}$]，
不等式$\frac{3x-4}{2x-1}$≤0，解得$\frac{1}{2}＜$x≤$\frac{4}{3}$，
即有N=（$\frac{1}{2}$，$\frac{4}{3}$]，
即有M∩N=（$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{4}$]；
（2）函数g（x）=x²（1-x）+x（1-x）²
=x（1-x）=-（x-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{1}{4}$，
当x∈（$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{4}$]，为减区间，
即有g（x）∈[$\frac{3}{16}$，$\frac{1}{4}$），
则有g（x）＜$\frac{1}{4}$．

点评 本题考查不等式的解法，注意二次不等式和分式不等式的解法，同时考查二次函数的最值的求法和不等式恒成立问题的解法，属于中档题．