Question

6．已知曲线C₁：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0，x≥0）和曲线C₂：x²+y²=r²（x≥0）都过点A（0，-1），且曲线C₁所在的圆锥曲线的离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$
（1）求曲线C₁，C₂的方程
（2）设点B，C分别在曲线C₁，C₂上，k₁，k₂分别为直线AB，AC的斜率，当k₂=4k₁时，
①直线BC是否经过定点？请说明理由
②设E（0，1），求|$\overrightarrow{BC}$|•|$\overrightarrow{BE}$|的最大值．

Answer 1

分析 （1）由已知曲线都过点A（0，-1），且曲线C₁所在的圆锥曲线的离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，可确定相应几何量，从而可得曲线C₁和曲线C₂的方程；
（2）①将直线AB，AC的方程分别与椭圆、圆联立，进而可求点B，C的坐标，从而可得直线BC的方程，进而可知过定点，
②由|$\overrightarrow{BC}$|•|$\overrightarrow{BE}$|=|$\overrightarrow{BC}$•$\overrightarrow{BE}$|，再|根据向量的坐标运算和向量的数量积和基本不等式即可求出．

解答 解：（1）由已知得r²=1，b²=1，
又e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{{a}^{2}-1}}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，解得a²=4，
∴曲线C₁的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$，（x≥0），
曲线C₂的方程为x²+y²=1，（x≥0）．
（2）①将y=k₁x-1代入$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$，得（1+4k₁²）x²-8k₁x=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁=0，x₂=$\frac{8{k}_{1}}{1+4{{k}_{1}}^{2}}$，
∴B（$\frac{8{k}_{1}}{1+4{{k}_{1}}^{2}}$，$\frac{4{{k}_{1}}^{2}-1}{1+4{{k}_{1}}^{2}}$），
将y=k₂x-1代入x²+y²=1，得（1+k₂²）x²-2k₂x=0，
设C（x₃，y₃），则x₃=$\frac{2{k}_{2}}{{{k}_{2}}^{2}+1}$，y₃=k₂x₃-1=$\frac{{{k}_{2}}^{2}-1}{{{k}_{2}}^{2}+1}$，
∴C（$\frac{2{k}_{2}}{{{k}_{2}}^{2}+1}$，$\frac{{{k}_{2}}^{2}-1}{{{k}_{2}}^{2}+1}$），
∵k₂=4k₁，∴C（$\frac{8{k}_{1}}{16{{k}_{1}}^{2}+1}$，$\frac{16{{k}_{1}}^{2}-1}{16{{k}_{1}}^{2}+1}$），
∴直线BC的斜率k_BC=-$\frac{1}{4{k}_{1}}$，
∴直线BC的方程为：y-$\frac{4{{k}_{1}}^{2}-1}{1+4{{k}_{1}}^{2}}$=-$\frac{1}{4{k}_{1}}$（x-$\frac{8{k}_{1}}{1+4{{k}_{1}}^{2}}$），
即y=-$\frac{1}{4{k}_{1}}$x+1，
∴直线BC过定点（0，1）．
②∵$\overrightarrow{BC}$=（$\frac{8{k}_{1}}{16{{k}_{1}}^{2}+1}$-$\frac{8{k}_{1}}{1+4{{k}_{1}}^{2}}$，$\frac{16{{k}_{1}}^{2}-1}{16{{k}_{1}}^{2}+1}$-$\frac{4{{k}_{1}}^{2}-1}{1+4{{k}_{1}}^{2}}$），
$\overrightarrow{BE}$=（-$\frac{8{k}_{1}}{1+4{{k}_{1}}^{2}}$，1-$\frac{4{{k}_{1}}^{2}-1}{1+4{{k}_{1}}^{2}}$）=（-$\frac{8{k}_{1}}{1+4{{k}_{1}}^{2}}$，$\frac{2}{1+4{k}_{1}^{2}}$），
∴|$\overrightarrow{BC}$|•|$\overrightarrow{BE}$|=|$\overrightarrow{BC}$•$\overrightarrow{BE}$|=|$\frac{-64{k}_{1}^{2}}{（1+4{k}_{1}^{2}）（1+16{k}_{1}^{2}）}$+$\frac{64{k}_{1}^{2}}{（1+4{k}_{1}^{2}）^{2}}$+$\frac{32{k}_{1}^{2}-2}{（1+4{k}_{1}^{2}）•（1+16{k}_{1}^{2}）}$-$\frac{2{k}_{1}^{2}-2}{（1+4{k}_{1}^{2}）^{2}}$|
=|-$\frac{2+8{k}_{1}^{2}}{（1+4{k}_{1}^{2}）^{2}}$+$\frac{62{k}_{1}^{2}+2}{（1+4{k}_{1}^{2}）^{2}}$|
=$\frac{54{k}_{1}^{2}}{1+8{k}_{1}^{2}+16{k}_{1}^{4}}$，
=$\frac{54}{\frac{1}{{k}_{1}^{2}}+16{k}_{1}^{2}+8}$≤$\frac{54}{8+8}$=$\frac{27}{8}$，当k₁=±2时取等号
故|$\overrightarrow{BC}$|•|$\overrightarrow{BE}$|的最大值$\frac{27}{8}$

点评 本题考查曲线轨迹方程的求解，考查直线恒过定点，以及向量的数量积运算和基本不等式，解题的关键是确定点B、C的坐标，求出直线BC的方程是，属于难题．