Question

已知a∈R，函数f（x）=

1

3

x3+(a-2)x2+b，g（x）=4alnx．
（1）若曲线y=f（x）与曲线y=g（x）在它们的交点（1，c）处的切线重合，求a，b的值；
（2）设F（x）=f′（x）-g（x），若对任意的x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂，都有F（x₂）-F（x₁）＞2a（x₂-x₁），求a的取值范围．

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的综合应用

分析：（1）求出函数f（x）=

1

3

x3+(a-2)x2+b，g（x）=4alnx的导数，通过f'（1）=g'（1），求出a．通过c=0．f（1）=0，求出b．
（2）转化F（x₂）-F（x₁）＞2a（x₂-x₁）为F（x₂）-2ax₂＞F（x₁）-2ax₁，构造h（x）=F（x）-2ax，证明h（x）在（0，+∞）单调递增即可，得到函数的最值，然后求解a的范围，

解答： 解：（1）f'（x）=x²+2（a-2）x，f'（1）=2a-3．
g′(x)=

4a

x

，g'（1）=4a
由题意，f'（1）=g'（1），4a=2a-3，a=-

3

2

．
又因为g（1）=0，∴c=0．f（1）=0，得b=

19

6

…（4分）
（2）由 F（x₂）-F（x₁）＞2a（x₂-x₁）可得，F（x₂）-2ax₂＞F（x₁）-2ax₁
令h（x）=F（x）-2ax，只需证h（x）在（0，+∞）单调递增即可…（8分）
h（x）=F（x）-2ax=x²+2（a-2）x-4alnx-2ax=x²-4x-4alnx
h′(x)=

2x2-4x-4a

x

只需说明h′(x)=

2x2-4x-4a

x

≥0在（0，+∞）恒成立即可…（10分）
即4a≤-2x²+4x，a≤-

1

2

(x-1)2+

1

2

故，a≤-

1

2

…（12分）
（如果考生将

f(x1)-f(x2)

x1-x2

视为斜率，利用数形结合得到正确结果的，则总得分不超过8分）

点评：本题看常数的导数的应用，函数的最值，以及构造法的应用，考查转化思想以及计算能力．