分析:(1)由T
n=a
1•a
2…a
n=n
2,知a
3a
4a
5=
,由此能求出a
3a
4a
5的值.
(2)当n=1时,a
1=4,log
2a
1=2,当n≥2时,
an==
,由此能够证明数列{log
2a
n}为等比数列,并求{a
n}的通项公式.
(3)由a
1•a
2…a
100=2,等式a
1•a
2…a
k+a
k+1•a
k+2…a
100=k+2对1≤k≤99,k∈N
*恒成立,知
a1+=3,解得a
1=1,或a
1=2.T
k是方程x
2-(k+2)x+2=0的一个实根,当数列前k(2≤k≤98)项确定后,其前k项积T
k确定,由此能求出符合条件的数列的个数.
解答:解:(1)∵T
n=a
1•a
2…a
n=n
2,
∴a
3a
4a
5=
=
.
(2)当n=1时,a
1=T
1=
,
∴a
1=4,log
2a
1=2,
当n≥2时,
an==
,
∵a
n>0,∴
an=an-12,
∴log
2a
n=2log
2a
n-1,
∴数列{log
2a
n}为等比数列,
log
aa
n=2
n,∴
an=22n.
(3)∵a
1×a
2×…×a
100=2;
等式a
1•a
2…a
k+a
k+1•a
k+2…a
100=3对1≤k≤99,k∈N
*恒成立,
∴a
1+a
2•a
3×…×a
100=k+2,
∴
a1+=3,解得a
1=1,或a
1=2.
T
k是方程x
2-(k+2)x+2=0的一个实根,
△=[-(k+2)]
2-4=k
2+4k>0,
当数列前k(2≤k≤98)项确定后,
其前k项积T
k确定,
由T
k+1可得到两个a
k+1,
所以符合条件的数列共有2
99个.
点评:本题考查等比数列的证明,考查数列的通项公式的求法,考查符合条件的数列个数的求法,解题时要认真审题,仔细解答,注意等价转化思想的合理运用.