【题目】已知向量 =(cos x,sin x), =(cos x,﹣sin x),且x∈[0, ].求:
(1)及 ;
(2)若f(x)= ﹣2λ 的最小值是﹣ ,求λ的值.
【答案】
(1)
解: =cos2x
=
∵x∈[0, ],∴cosx>0,∴ =2cosx.
(2)
解:f(x)=cos2x﹣4λcosx=2cos2x﹣1﹣4λcosx,设t=cosx,
则∵x∈[0, ],∴t∈[0,1]
即y=f(x)=2t2﹣4λt﹣1=2(t﹣λ)2﹣1﹣2λ2.
①λ<0时,当且仅当t=0时,y取最小值﹣1,这与已知矛盾
②当0≤λ≤1时,当且仅当t=λ时,y取得最小值﹣1﹣2λ2,
由已知得 ,解得λ=
③当λ>1时,当且仅当t=1时,y取得最小值1﹣4λ.
由已知得 ,解得λ= ,这与λ>1相矛盾.
综上λ= 为所求.
【解析】(1)利用向量的数量积公式,结合差角的三角函数,角的范围,即可得出结论;(2)f(x)=cos2x﹣4λcosx=2cos2x﹣1﹣4λcosx,设t=cosx,可得y=f(x)=2t2﹣4λt﹣1=2(t﹣λ)2﹣1﹣2λ2 , 分类讨论,利用最小值是﹣ ,即可求λ的值.
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【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
已知圆和直线.
(Ⅰ)求的参数方程以及圆上距离直线最远的点坐标;
(Ⅱ)以坐标原点为极点, 轴正半轴为极轴建立极坐标系,将圆上除点以外所有点绕着逆时针旋转得到曲线,求曲线的极坐标方程.
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【题目】某校高一举行了一次数学竞赛,为了了解本次竞赛学生的成绩情况,从中抽取了部分学生的分数(得分取正整数,满分为100分)作为样本(样本容量为n)进行统计,按照[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]的分组作出频率分布直方图,并作出样本分数的茎叶图(图中仅列出了得分在[50,60),[90,100]的数据).
(1)求样本容量n和频率分布直方图中的x,y的值;
(2)估计本次竞赛学生成绩的中位数和平均分;
(3)在选取的样本中,从竞赛成绩在80分以上(含80分)的学生中随机抽取2名学生,求所抽取的2名学生中至少有一人得分在[90,100]内的频率.
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【题目】某学校一个生物兴趣小组对学校的人工湖中养殖的某种鱼类进行观测研究,在饲料充足的前提下,兴趣小组对饲养时间x(单位:月)与这种鱼类的平均体重y(单位:千克)得到一组观测值,如下表:
xi(月) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
yi(千克) | 0.5 | 0.9 | 1.7 | 2.1 | 2.8 |
(参考公式: = , = ﹣ )
(1)在给出的坐标系中,画出关于x,y两个相关变量的散点图.
(2)请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出变量y关于变量x的线性回归直线方程 .
(3)预测饲养满12个月时,这种鱼的平均体重(单位:千克)
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【题目】已知双曲线的离心率为,圆心在轴的正半轴上的圆与双曲线的渐近线相切,且圆的半径为2,则以圆的圆心为焦点的抛物线的标准方程为( )
A. B. C. D.
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