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    为了保护环境，某工厂在政府部门的支持下，进行技术改进：把二氧化碳转化为某种化工产品，经测算，该处理成本y（万元）与处理量x（吨）之间的函数关系可近似地表示为：y=
    1
    25
    x3+640，x∈[10，30)
    x2-40x+1600，x∈[30，50]
    ，且每处理一吨二氧化碳可得价值为20万元的某种化工产品．
    （Ⅰ）当x∈[30，50]时，判断该技术改进能否获利？如果能获利，求出最大利润；如果不能获利，则国家至少需要补贴多少万元，该工厂才不亏损？
    （Ⅱ）当处理量为多少吨时，每吨的平均处理成本最少．
    分析：（Ⅰ）利用每处理一吨二氧化碳可得价值为20万元的某种化工产品，及处理成本y（万元）与处理量x（吨）之间的函数关系，可得利润函数，利用配方法，即可求得结论；
    （Ⅱ）求得二氧化碳的每吨平均处理成本函数是分段函数，再分段求出函数的最值，比较其大小，即可求得结论．
    解答：解：（Ⅰ）当x∈[30，50]时，设该工厂获利为S，则S=20x-（x2-40x+1600）=-（x-30）2-700
    所以当x∈[30，50]时，S＜0，因此，该工厂不会获利，所以国家至少需要补贴700万元，才能使工厂不亏损    
    （Ⅱ）由题意可知，二氧化碳的每吨平均处理成本为：P(x)=
    y
    x
    =
    1
    25
    x2+
    640
    x
    ，x∈[10，30)
    x+
    1600
    x
    -40，x∈[30，50]

    ①当x∈[10，30）时，P（x）=
    1
    25
    x2+
    640
    x
    ，∴P′（x）=
    2
    25
    x-
    640
    x2
    =
    2(x3-8000)
    25x2

    ∴x∈[10，20）时，P′（x）＜0，P（x）为减函数；x∈（20，30）时，P′（x）＞0，P（x）为增函数，
    ∴x=20时，P（x）取得最小值，即P（20）=48；
    ②当x∈[30，50]时，P（x）=x+
    1600
    x
    -40≥2
    		x•
    1600
    x
    -40=40
    当且仅当x=
    1600
    x
    ，即x=40∈[30，50]时，P（x）取得最小值P（40）=40
    ∵48＞40，
    ∴当处理量为40吨时，每吨的平均处理成本最少．
    点评：本题考查函数模型的构建，考查函数最值的求解，正确运用求函数最值的方法是关键．
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    (Ⅰ)当 时，判断该技术改进能否获利？如果能获利，求出最大利润；如果不能获利，则国家至少需要补贴多少万元，该工厂才不亏损？

    （Ⅱ） 当处理量为多少吨时，每吨的平均处理成本最少.

     

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    (Ⅰ)当 时，判断该技术改进能否获利？如果能获利，求出最大利润；如果不能获利，则国家至少需要补贴多少万元，该工厂才不亏损？  

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    （Ⅰ）当x∈[30，50]时，判断该技术改进能否获利？如果能获利，求出最大利润；如果不能获利，则国家至少需要补贴多少万元，该工厂才不亏损？
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    （Ⅰ）当x∈[30，50]时，判断该技术改进能否获利？如果能获利，求出最大利润；如果不能获利，则国家至少需要补贴多少万元，该工厂才不亏损？
    （Ⅱ） 当处理量为多少吨时，每吨的平均处理成本最少．

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