Question

3．我市某玩具生产公司根据市场调查分析，决定调整产品生产方案，准备每天生产A，B，C三种玩具共100个，且C玩具至少生产20个．每天生产时间不超过10小时，已知生产这些玩具每个所需工时（分钟）和所获利润如下表：

玩具名称	A	B	C
工时（分钟）	5	7	4
利润（元）	5	6	3

（1）用每天生产A玩具个数x与B玩具个数y表示每天的利润ω（元）
（2）怎样分配生产任务才能使每天的利润最大，最大利润是多少？

Answer 1

分析 （1）依题意，每天生产的玩具C的个数为100-x-y，根据题意即可得出每天的利润；
（II）先根据题意列出约束条件，再根据约束条件画出可行域，设T=2x+3y+300，再利用T的几何意义求最值，只需求出直线z=2x+3y过可行域内的点A时，从而得到T值即可

解答 解：（1）由题意ω=5x+6y+3（100-x-y）=2x+3y+300；
（2）由题意，约束条件为$\left\{\begin{array}{l}{5x+7y+4（100-x-y）≤600}\\{100-x-y≥20}\\{x≥0}\\{y≥0}\end{array}\right.$    
即   $\left\{\begin{array}{l}{x+3y≤200}\\{x+y≤80}\\{x≥0}\\{y≥0}\end{array}\right.$
可行域如图      
解方程组$\left\{\begin{array}{l}x+3y=200\\ x+y=80\end{array}\right.$得点M的坐标为（20，60）
所以ω_max=2x+3y+300=520（元）
答：每天生产A玩具20个，B玩具60个，C玩具20个，才能使每天的利润最大，最大利润是520元．

点评 在解决线性规划的应用题时，其步骤为：①分析题目中相关量的关系，列出不等式组，即约束条件，②由约束条件画出可行域，③分析目标函数Z与直线截距之间的关系，④使用平移直线法求出最优解，⑤还原到现实问题中