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13.已知函数f(x)=mx2+2x-1有且仅有一个正实数的零点,则实数m的取值范围是{-1}∪[0,+∞).

分析 讨论函数的类型,开口方向,根与系数的关系.

解答 解:(1)当m=0时,f(x)=2x-1,f(x)的零点为x=$\frac{1}{2}$>0,符合题意.
(2)当m>0时,f(x)图象开口向上,对称轴为x=-$\frac{1}{m}$<0,
∴f(x)在[0,+∞)上是增函数,
∵f(x)在(0,+∞)上有且仅有一个正实数零点.
∴f(0)<0,
即-1<0,恒成立.
(3)当m<0时,f(x)图象开口向下,对称轴为x=-$\frac{1}{m}$>0,
①若△=0,即4+4m=0,解得m=-1,则-$\frac{2}{2m}$>0,恒成立.
②若△>0,即4+4m>0,解得m>-1,则f(x)=0有两根,设为x1,x2
则x1•x2=$-\frac{1}{m}$>0,与f(x)=mx2+2x-1有且仅有一个正实数的零点矛盾.
综上所述:m的取值范围是{-1}∪[0,+∞).
故答案为{-1}∪[0,+∞).

点评 本题考查了二次函数的根的个数与系数的关系,是中档题.

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