Question

（22）设数列｛a_n｝满足a_n＋1＝a_n²－na_n＋1，n＝1，2，3，…，

（Ⅰ）当a₁＝2时，求a₂，a₃，a₄，并由此猜想出a_n的一个通项公式；

（Ⅱ）当a₁≥3时，证明对所有的n≥1，有

（ⅰ）a_n≥n＋2；

（ⅱ）…＋≤.

Answer 1

（22）本小题主要考查数列和不等式等知识，考查猜想、归纳、推理以及分析问题和解决问题的能力.

解：

（Ⅰ）由a₁＝2，得a₂＝a₁²－a₁＋1＝3，

由a₂＝3，得a₃＝a₂²－2a₂＋1＝4，

由a₃＝4，得a₄＝a₃²－3a₃＋1＝５.

由此猜想a_n的一个通项公式：a_n＝n＋1（n≥1）.　　　　　　　

 

（Ⅱ）（ⅰ）用数学归纳法证明：

①当n＝1，a₁≥3＝1＋2，不等式成立.　　　　　　　　　　

②假设当n＝k时不等式成立，即a_k≥k＋2，那么，

a_k＋1＝a_k（a_k－k）＋1≥（k＋2）（k＋2－k）＋1≥k＋3，

也就是说，当n＝k＋1时a_k＋1≥（k＋1）＋2.

根据①和②，对于所有n≥1，有a_n≥n＋2.　　　　　　　　　

（ⅱ）由a_n＋1＝a_n（a_n－n）＋1及（i），对k≥2，有

a_k＝a_k－1（a_k－1－k＋1）＋1≥a_k－1（k－1＋2－k＋1）＋1＝2a_k－1＋1，

……

∴a_k≥2^k－1a₁＋2^k－2＋…＋2＋1＝2^k－1（a₁＋1）－1.　　　　　　

于是≤，k≥2.

≤=≤≤=.