精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
7.如图,将正方形剪去两个底角为15°的等腰三角形CDE和CBF,然后沿图中所画的线折成一个正三棱锥,这个正三棱锥侧面与底面所成的二面角的余弦值为$\frac{2\sqrt{3}}{3}-1$.

分析 作出正三棱锥的侧面与底面所成的二面角,转化为三角形求解,即可得结论.

解答 解:由题意,作AO⊥平面BEF,垂足为O作BG⊥EF,连接AG,则O在BG上,OG⊥EF,AG⊥EF,
∴∠AGO为正三棱锥的侧面与底面所成的二面角.
设AB=a,BE=BF=EF=b,
则$\frac{\frac{1}{2}a}{b}=cos15°$,a=2bcos15°,BG=$\frac{\sqrt{3}b}{2}$,OG=$\frac{\sqrt{3}b}{6}$,AG=$\sqrt{{a}^{2}-({\frac{1}{2}b)}^{2}}$
∴cos∠AGO=$\frac{OG}{AG}$=$\frac{\frac{\sqrt{3}b}{6}}{\sqrt{{a}^{2}-{(\frac{1}{2}b)}^{2}}}$
=$\frac{\sqrt{3}}{6\sqrt{4{cos}^{2}15°-\frac{1}{4}}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3\sqrt{4\sqrt{3}+7}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3(2+\sqrt{3})}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}-1$.
故答案为:$\frac{2\sqrt{3}}{3}-1$.

点评 本题考查面面角,考查学生的计算能力,正确作出面面角的平面角是解题的关键,注意三角函数值的求法,考查转化思想以及计算能力.

练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:填空题

19.log327-3${\;}^{lo{g}_{3}2}$+$\sqrt{(-2)^{2}}$+(2$\frac{7}{9}$)${\;}^{\frac{1}{2}}$+sin(-$\frac{π}{6}$)=$\frac{25}{6}$.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:选择题

20.已知sin2θ=$\frac{3}{5}$,且0<2θ<$\frac{π}{2}$,则$\frac{2co{s}^{2}\frac{θ}{2}-sinθ-1}{\sqrt{2}sin(θ+\frac{π}{4})}$的值为(  )
A.1B.2C.$\frac{1}{2}$D.3

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:解答题

17.求下列各圆的方程:
(1)圆心为点M(-5,3),且过点A(-8,-1):
(2)过三点A(-2,4),B(-1,3),C(2,6).

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:解答题

2.平面PAD⊥平面ABCD,ABCD为正方形,△PAD是直角三角形,且PA=PD=2,E,F,G分别是线段PA,PD,CD的中点
(1)求证:PB∥平面EFG;
(2)在线段CD上是否存在一点Q,使得点A到平面EFQ的距离为$\frac{4}{5}$,若存在,求出DQ的值;若不存在,请说明理由.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:解答题

12.计算
(1)$\frac{a•\root{3}{b\sqrt{a}}}{{b}^{\frac{1}{2}}}$              
(2)($\frac{9}{4}$)${\;}^{\frac{1}{2}}$-(-9.6)0-($\frac{27}{8}$)${\;}^{-\frac{2}{3}}$+(1.5)-2

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:解答题

19.已知向量$\overrightarrow{a}$=(sinx+cosx,-cosx),$\overrightarrow{b}$=(sinx+cosx,sinx),f(x)=$\overrightarrow{a}$$•\overrightarrow{b}$
(Ⅰ)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间;
(Ⅱ)x∈[-$\frac{π}{6}$,$\frac{3π}{8}$]时,求函数f(x)的最大值和最小值.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:选择题

16.几何体的三视图如图所示,若从该几何体的实心外接球中挖去该几何体,则剩余几何体的表面积是(注:包括外表面积和内表面积)(  )
A.133πB.100πC.66πD.166π

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:解答题

17.通过随机询问某校高二年级学生在购买食物时是否看营养说明,得到如下列联表:
男生女生总计
看营养说明503080
不看营养说明10xy
总计60z110
参考数据:
P(K2≥K)0.100.050.010.005
K2.7063.8416.6357.879
参考公式:K2=$\frac{n(ad-bc)^{2}}{(a+b)(b+d)(a+c)(c+d)}$,n=a+b+c+d
(1)写出x,y,z的值
(2)根据以上列联表,问有多大把握认为“性别在购买食物时看营养说明”有关?
(3)从女生中按是否看营养说明采取分层抽样,抽取容量为5的样本,再从这5名女生中随机选取两名作深度访谈.求选到看与不看营养说明的女生各一名的概率.

查看答案和解析>>

同步练习册答案