Question

观察下列几个三角恒等式：
①tan10°tan20°+tan20°tan60°+tan60°tan10°=1；
②tan5°tan100°+tan100°tan（-15°）+tan（-15°）tan5°=1；
③tan13°tan35°+tan35°tan42°+tan42°tan13°=1．
一般地，若tanα，tanβ，tanγ都有意义，你从这三个恒等式中猜想得到的一个结论为

当α+β+γ=90°时，tanαtanβ+tanβtanγ+tanγtanα=1

．试证明结论．

Answer 1

分析：观察所给的4个等式，发现左边都是两个角的正切的乘积形式，一共有三项，且三个角的和为定值：直角，右边的值都为常数1，由此可得结论，再利用和角的正切公式进行证明即可．

解答：解：观察所给的4个等式可得：
若角α，β，γ满足α+β+γ=90°，且tanα，tanβ，tanγ都有意义，则tanαtanβ+tanβtanγ+tanαtanγ=1．
证明如下：∵α+β+γ=90°，∴α+β=90°-γ
∴tan（α+β）=tan（90°-γ）
∴

tanα+tanβ

1-tanαtanβ

=

1

tanγ

∴tanαtanβ+tanβtanγ+tanγtanα=1
故答案为：当α+β+γ=90°时，tanαtanβ+tanβtanγ+tanγtanα=1

点评：本题考查归纳推理，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．