Question

【题目】某公司每月最多生产100台警报系统装置，生产x台（x∈N*）的总收入为30x﹣0.2x2（单位：万元）．每月投入的固定成本（包括机械检修、工人工资等）为40万元，此外，每生产一台还需材料成本5万元．在经济学中，常常利用每月利润函数P（x）的边际利润函数MP（x）来研究何时获得最大利润，其中MP（x）=P（x+1）﹣P（x）． （Ⅰ）求利润函数P（x）及其边际利润函数MP（x）；
（Ⅱ）利用边际利润函数MP（x）研究，该公司每月生产多少台警报系统装置，可获得最大利润？最大利润是多少？

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由题意知，x∈[1，100]，且x∈N*P（x）=R（x）﹣C（x）
=30x﹣0.2x2﹣（5x+40）
=﹣0.2x2+25x﹣40，
MP（x）=P（x+1）﹣P（x）
=﹣0.2（x+1）2+25（x+1）﹣40﹣[﹣0.2x2+25x﹣40]
=24.8﹣0.4x，
（Ⅱ）∵MP（x）=24.8﹣0.4x是减函数，
∴当x=1时，MP（x）的最大值为24.40（万元）
【解析】（Ⅰ）利用利润是收入与成本之差，求利润函数P（x），利用MP（x）=P（x+1）﹣P（x），求其边际利润函数MP（x）；（Ⅱ）利用MP（x）=24.8﹣0.4x是减函数，即可得出结论．