Question

18．在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x²+y²=4和动直线l：x=my+1．
（1）证明：不论m为何值时，直线l与圆C都相交；
（2）若直线l与圆C相交于A，B，点A关于轴x的对称点为A₁，试探究直线A₁B与x轴是否交于一个定点？请说明理由．

Answer 1

分析 （1）圆C：x²+y²=4和动直线l：x=my+1联立方程组，利用判别式进行判断即可．
（2）直线l与圆C相交于A，B，设出A，B坐标，利用韦达定理建立关系，求解直线A₁B方程，令y=0求解x的值s是一个定值即可．

解答 证明：（1）由题意，圆C：x²+y²=4和动直线l：x=my+1联立方程组，消去x，可得：（m²+1）y²+2my-3=0，
由判别式△=4m²+12（m²+1）=16m²+12＞0
∴不论m为何值时，直线l与圆C都相交；
解：（2）直线l与圆C相交于A，B，设A坐标为（x₁，y₁），B坐标为（x₂，y₂），点A关于轴x的对称点为A₁，
∴A′的坐标为（x₁，-y₁）
直线A₁B方程为：y+y₂=$\frac{{y}_{2}+{y}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$（x-x₂）
由（1）可得：（m²+1）y²+2my-3=0，
那么：${y}_{2}+{y}_{1}=\frac{-2m}{{m}^{2}+1}$，${y}_{1}•{y}_{2}=\frac{-3}{{m}^{2}+1}$
同理，消去y，可得：（m²+1）x²-2x+1-4m²=0
那么：${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{2}{{m}^{2}+1}$，${x}_{1}{•x}_{2}=\frac{1-4{m}^{2}}{{m}^{2}+1}$，
令直线A₁B方程：y+y₂=$\frac{{y}_{2}+{y}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$（x-x₂）中的y=0，
解得：x=$\frac{4\sqrt{7}}{7}$是一个定值常数．
故得直线A₁B与x轴交于一个定点为（$\frac{4\sqrt{7}}{7}$，0）．

点评 本题考查直线方程，考查直线与圆的位置关系，考查直线恒过定点，考查学生的计算能力，属于中档题