Question

【题目】已知某椭圆C，它的中心在坐标原点，左焦点为F（﹣，0），且过点D（2，0）．

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）若已知点A（1，），当点P在椭圆C上变动时，求出线段PA中点M的轨迹方程．

Answer 1

【答案】（1）．（2）．

【解析】

试题（1）根据题意椭圆的焦点在x轴上，a=2且c=，从而b=1，得到椭圆的标准方程；

（2）设点P（x0，y0），线段PA的中点为M（x，y），根据中点坐标公式将x0、y0表示成关于x、y的式子，将P（x0，y0）关于x、y的坐标形式代入已知椭圆的方程，化简整理即可得到线段PA的中点M的轨迹方程．

解：（1）由题意知椭圆的焦点在x轴上，

∵椭圆经过点D（2，0），左焦点为F（﹣，0），

∴a=2，c=，可得b=1

因此，椭圆的标准方程为．

（2）设点P的坐标是（x0，y0），线段PA的中点为M（x，y），

由根据中点坐标公式，可得，

∵点P（x0，y0）在椭圆上，

∴可得，化简整理得，

∴线段PA中点M的轨迹方程是．