Question

2．在数列{a_n}，{b_n}中，a₁=1，b₁=2，a_n+1=b_n+1，b_n+1=a_n+1（n∈N^*）．
（1）求数列{b_n-a_n}，{a_n+b_n}的通项公式；
（2）设S_n为数列的前n项的和，求数列$\left\{{\frac{1}{{4{S_n}-1+{{（{-1}）}^n}}}}\right\}$的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）利用a_n+1=b_n+1，b_n+1=a_n+1，可得b_n+1-a_n+1=-（b_n-a_n），利用等比数列的通项公式可得b_n-a_n．
（2）由$\left\{{\begin{array}{l}{{a_n}+{b_n}=2n+1\;\;}\\{{b_n}-{a_n}={{（-1）}^{n-1}}}\end{array}}\right.$，得${b_n}=n+\frac{1}{2}[1+{（-1）^{n-1}}]$，可得S_n，代入利用“裂项求和”方法即可得出．

解答 解：（1）因为a_n+1=b_n+1，b_n+1=a_n+1，
所以b_n+1-a_n+1=-（b_n-a_n），
即数列{b_n-a_n}是首项为1，公比为-1的等比数列，
所以${b_n}-{a_n}=1•{（-1）^{n-1}}={（-1）^{n-1}}$．…（3分）
a_n+1+b_n+1=（a_n+b_n）+2，且a₁+b₁=3，
所以数列{a_n+b_n}是首项为3，公差为2的等差数列，
故a_n+b_n=3+2（n-1）=2n+1．…（6分）
（2）由$\left\{{\begin{array}{l}{{a_n}+{b_n}=2n+1\;\;}\\{{b_n}-{a_n}={{（-1）}^{n-1}}}\end{array}}\right.$，得${b_n}=n+\frac{1}{2}[1+{（-1）^{n-1}}]$，…（7分）
${S_n}=\frac{{{n^2}+2n}}{2}+\frac{1}{4}[1-{（-1）^n}]$，…（9分）
所以$\frac{1}{{4{S_n}-1+{{（-1）}^n}}}=\frac{1}{{2（{n^2}+2n）}}=\frac{1}{4}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）$…（10分）
故${T_n}=\frac{1}{4}（1-\frac{1}{3}+\frac{1}{2}-\frac{1}{4}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+…+\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）$
=$\frac{3}{8}-\frac{1}{4}（\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}）$=$\frac{3}{8}-\frac{2n+3}{{4{n^2}+8n+12}}$…（12分）

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式、数列递推关系、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．