Question

18．给出下列命题，其中正确的是②③
①函数y=2cos²（x+$\frac{π}{6}$）的图象可由y=1+cos2x向左平移$\frac{π}{3}$个单位得到；
②函数f（x）=sin（x+$\frac{π}{4}$）+cos（x+$\frac{π}{4}$）是偶函数；
③直线x=$\frac{π}{8}$是曲线y=sin（2x+$\frac{5π}{4}$）的一条对称轴；
④函数y=2sin²（x+$\frac{π}{3}$）的最小正周期是2π．
⑤函数y=tan（2x+$\frac{π}{3}$）的定义域为{x|x≠kπ+$\frac{π}{12}$，k∈Z}．

Answer 1

分析 由三角函数的性质，逐个选项验证可得．

解答 解：①函数y=2cos²（x+$\frac{π}{6}$）=cos（2x+$\frac{π}{3}$）+1，
其图象可由y=1+cos2x向左平移$\frac{π}{6}$个单位得到，而不是$\frac{π}{3}$，故错误；
②函数f（x）=sin（x+$\frac{π}{4}$）+cos（x+$\frac{π}{4}$）=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$+$\frac{π}{4}$）=$\sqrt{2}$cosx，
满足f（-x）=f（x），为偶函数，故正确；
③把x=$\frac{π}{8}$代入y=sin（2x+$\frac{5π}{4}$）可得y=sin（$\frac{π}{4}$+$\frac{5π}{4}$）=-1，为最小值
故直线x=$\frac{π}{8}$是曲线y=sin（2x+$\frac{5π}{4}$）的一条对称轴，故正确；
④化简可得函数y=2sin²（x+$\frac{π}{3}$）=1-cos（2x+$\frac{2π}{3}$），
由周期公式可得函数的最小正周期T=$\frac{2π}{2}$=π，而不是2π，故错误；
⑤由2x+$\frac{π}{3}$≠kπ+$\frac{π}{2}$可得x≠$\frac{1}{2}$kπ+$\frac{π}{12}$，
故函数y=tan（2x+$\frac{π}{3}$）的定义域为{x|x≠$\frac{1}{2}$kπ+$\frac{π}{12}$，k∈Z}，故错误．
故答案为：②③．

点评 本题考查命题真假的判定，涉及三角函数的性质和图象的变换，属中档题．