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15.各棱长都为2的四棱锥,底面ABCD是正方形,将侧面PBC水平放置,则这个几何体的俯视图的面积为(  )
A.$\sqrt{3}$B.$\frac{\sqrt{3}}{2}$C.$\frac{4\sqrt{3}}{3}$D.$\frac{5\sqrt{3}}{3}$

分析 根据已知画出侧面PBC水平放置时,几何体的俯视图,并求出相应的边长,代入矩形和三角形面积公式后可得答案.

解答 解:作棱锥的轴截面(其中E,F为底面对边AD和BC的中点,O为底面中心),如下图所示:

∵则四棱锥的棱长为2,
∴EF=2,PE=PF=$\sqrt{3}$,PO=$\sqrt{2}$,
作EG⊥PF,垂足为G,则EG=$\frac{PO•EF}{PF}$=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$,PG=$\sqrt{{PE}^{2}{-EG}^{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$,
将侧面PBC水平放置后,棱锥的俯视图如图所示,
则△PBC是等边三角形,PE=$\sqrt{3}$,

∴FG=PF-PG=$\sqrt{3}$-$\frac{\sqrt{3}}{3}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$,
∴俯视图面积=2×$\frac{2\sqrt{3}}{3}$+$\frac{1}{2}$×2×$\frac{\sqrt{3}}{3}$=$\frac{5\sqrt{3}}{3}$,
故选:D.

点评 本题考查的知识点是简单几何体的三视图,其中画出满足条件的图形是解答的关键.

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