Question

已知等差数列{a_n}中，公差d＞0，其前n项和为S_n，且满足a₂•a₃=45，a₁+a₄=14．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=2ⁿa_n（n∈N⁺），求数列{b_n}的前n项和T_n；
（3）设F_n=（4n-5）•2ⁿ⁺¹，试比较F_n与T_n的大小．

Answer 1

解：（1）由已知可得（d＞0）解得：．
∴a_n=1+4（n-1）=4n-3…（4分）
（2）∵b_n=2ⁿa_n=（4n-3）•2ⁿ，
∴T_n=1•2¹+5•2²+9•2³+…+（4n-7）•2^n-1+（4n-3）•2ⁿ，①
2T_n=1•2²+5•2³+…+（4n-11）•2^n-1+（4n-7）•2ⁿ+（4n-3）•2ⁿ⁺¹，②
①-②得：
-T_n=2+4（2²+2³+…+2ⁿ）-（4n-3）•2ⁿ⁺¹
=2+4•-（4n-3）•2ⁿ⁺¹
=2+4•2ⁿ⁺¹-16-（4n-3）•2ⁿ⁺¹
=-（4n-7）•2ⁿ⁺¹-14
∴T_n=（4n-7）•2ⁿ⁺¹+14…（9分）
（3）∵F_n-T_n=（4n-5）•2ⁿ⁺¹-（4n-7）•2ⁿ⁺¹-14=2ⁿ⁺²-14，
∴当n≥2时，2ⁿ⁺²≥2⁴=16＞14，即2ⁿ⁺¹-14＞0，故F_n＞T_n；
当n=1时，2ⁿ⁺²=2³=8＜14，即2ⁿ⁺¹-14＜0，故F_n＜T_n．
综上所述，当n=1时，F_n＜T_n；当n≥2时，F_n＞T_n…（13分）
分析：（1）依题意可得到关于等差数列的首项与公差的方程组，解之即可；
（2）利用错位相减法即可求得数列{b_n}的前n项和T_n；
（3）将F_n与T_n作差，根据结果对n分类讨论即可得到答案．
点评：本题考查等差数列的通项公式，考查数列的求和，着重考查错位相减法的应用，考查方程思想与分类讨论思想的综合应用，属于难题．