Question

4．在△ABC中满足条件acosB+bcosA=2ccosC．
（1）求∠C．
（2）若c=2，求三角形ABC面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）利用正弦定理把题设中关于边的等式转换成角的正弦，进而利用两角和公式化简整理求得cosC，进而求得C．
（2）根据余弦定理求得a和b的不等式关系，进而利用三角形面积公式表示出三角形的面积，利用a和b的不等式关系求得三角形面积的最大值．

解答 解：（1）由题意得sinAcosB+sinBcosA=2sinCcosC，
即sinC=2sinCcosC，故cosC=$\frac{1}{2}$，所以C=$\frac{π}{3}$．
（2）cosC=$\frac{1}{2}$=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-4}{2ab}$，
所以ab=a²+b²-4≥2ab-4，即ab≤4，等号当a=b时成立
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$absinC≤$\frac{4}{2}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$．

点评 本题主要考查了余弦定理的应用，正弦定理的应用，两角和公式的化简求值．综合考查了学生的基础知识的掌握．