Question

20．已知点P是曲线y=x²-lnx上一个动点，则点P到直线l：y=x-2的距离的最小值为$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 先根据导数的几何意义求出切点坐标，欲求P到直线y=x-2的距离的最小值即求切点到直线的距离，最后利用点到直线的距离公式进行求解即可

解答 解：函数的定义域为（0，+∞），
由$y'=2x-\frac{1}{x}=1$可得x=1，
所以切点为（1，1），
它到直线x-y-2=0的距离d=$\frac{|1-1-2|}{\sqrt{2}}$=$\frac{2}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$．
即点P到直线l：y=x-2的距离的最小值为$\sqrt{2}$，
故答案为：$\sqrt{2}$．

点评 本题主要考查了利用导数研究曲线上某点的切线方程，以及点到直线的距离公式，属于中档题