【题目】已知函数(其中,且为常数).
(1)若对于任意的,都有成立,求的取值范围;
(2)在(1)的条件下,若方程在上有且只有一个实根,求的取值范围.
【答案】(1);(2)或或
【解析】试题分析:(1)求导f′(x)=2(x﹣1)+a(﹣1)=(x﹣1)(2﹣),且f(1)=0+a(ln1﹣1+1)=0,从而讨论以确定函数的单调性,从而解得;
(2)化简f(x)+a+1=(x﹣1)2+a(lnx﹣x+1)+a+1,从而讨论以确定函数的单调性,从而解得.
试题解析:
解(1)…
当时,对于恒成立,在上单调递增
,此时命题成立;
当时,在上单调递减,在上单调递增,
当时,有.这与题设矛盾.
故的取值范围是…
(2)依题意,设,
原题即为若在上有且只有一个零点,求的取值范围.
显然函数与的单调性是一致的.
当时,因为函数在区间上递减,上递增,
所以在上的最小值为,
由于,要使在上有且只有一个零点,
需满足或,解得或;
当时,因为函数在上单调递增,
且,
所以此时在上有且只有一个零点;
当时,因为函数在上单调递增,在上单调递减,在上单调递增,
又因为,所以当时,总有,
,
所以在上必有零点,又因为在上单调递增,
从而当时,在上有且只有一个零点.
综上所述,当或或时,
方程在上有且只有一个实根.
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【题目】2017年12月,针对国内天然气供应紧张的问题,某市政府及时安排部署,加气站采取了紧急限气措施,全市居民打响了节约能源的攻坚战.某研究人员为了了解天然气的需求状况,对该地区某些年份天然气需求量进行了统计,并绘制了相应的折线图.
(Ⅰ)由折线图可以看出,可用线性回归模型拟合年度天然气需示量 (单位:千万立方米)与年份 (单位:年)之间的关系.并且已知关于的线性回归方程是,试确定的值,并预测2018年该地区的天然气需求量;
(Ⅱ)政府部门为节约能源出台了《购置新能源汽车补贴方案》,该方案对新能源汽车的续航里程做出了严格规定,根据续航里程的不同,将补贴金额划分为三类,A类:每车补贴1万元,B类:每车补贴2.5万元,C类:每车补贴3.4万元.某出租车公司对该公司60辆新能源汽车的补贴情况进行了统计,结果如下表:
类型 | 类 | 类 | 类 |
车辆数目 | 10 | 20 | 30 |
为了制定更合理的补贴方案,政府部门决定利用分层抽样的方式了解出租车公司新能源汽车的补贴情况,在该出租车公司的60辆车中抽取6辆车作为样本,再从6辆车中抽取2辆车进一步跟踪调查.若抽取的2辆车享受的补贴金额之和记为“”,求的分布列及期望.
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【题目】已知在极坐标系中曲线的极坐标方程为:,以极点为坐标原点,以极轴为轴的正半轴建立直角坐标系,曲线的参数方程为:(为参数),点.
(1)求出曲线的直角坐标方程和曲线的普通方程;
(2)设曲线与曲线相交于两点,求的值.
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【题目】(2017吉林延边州模拟)已知在△ABC中,B(-1,0),C(1,0),且|AB|+|AC|=4.
(1)求动点A的轨迹M的方程;
(2)P为轨迹M上的动点,△PBC的外接圆为☉O1,当点P在轨迹M上运动时,求点O1到x轴的距离的最小值.
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【题目】对于下列四个命题:
p1:x0∈(0,+∞),;
p2:x0∈(0,1),lox0>lox0;
p3:x∈(0,+∞),<lox;
p4:x∈<lox.
其中的真命题是( )
A. p1,p3 B. p1,p4
C. p2,p3 D. p2,p4
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【题目】已知函数有极值,且导函数的极值点是的零点.
(1)求关于的函数关系式,并写出定义域;
(2)证明:;
(3)若,这两个函数的所有极值之和不小于,求的取值范围.
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【题目】在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程是 (α为参数),以坐标原点O为极点,x轴正半轴为极轴,建立极坐标系.
(1)求曲线C的极坐标方程;
(2)设 ,若l1,l2与曲线C分别交于异于原点的A,B两点,求△AOB的面积.
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