Question

对于如下四个函数：①f(x)=

1

x

，②f（x）=|x|，③f（x）=2，④f（x）=x²．
其中满足性质：“对于区间（1，2）上的任意x₁，x₂（x₁≠x₂），|f（x₂）-f（x₁）|＜|x₂-x₁|恒成立”的函数为

①③

．

Answer 1

分析：把4个选项中的函数分别代入不等式|f（x₂）-f（x₁）|＜|x₂-x₁|分别验证是否成立即可得到答案．

解答：解：在区间（1，2）上的任意实数x₁，x₂（x₁≠x₂），分别验证下列4个函数．
对于①：f(x)=

1

x

f（x）=，|f（x₂）-f（x₁）|=|

1

x2

-

1

x1

|=|

x1-x2

x1x2

|＜|x₂-x₁|（因为x₁，x₂在区间（1，2）上，故x₁x₂大于1）故成立．
对于②：f（x）=|x|，|f（x₂）-f（x₁）|=||x₂|-|x₁||=|x₂-x₁|，故不成立．
对于③：f（x）=2，|f（x₂）-f（x₁）|=0，∵x₁≠x₂，∴0＜|x₂-x₁|，故成立．
对于④：f（x）=x²，|f（x₂）-f（x₁）|=|x₂²-x₁²|=（x₂+x₁）|x₂-x₁|＞|x₂-x₁|，故不成立．
故答案为：①③．

点评：本题考查新定义，考查绝对值不等式的应用问题．对于此类型的题目需要对题目选项一个一个做分析，然后用排除法作答即可，属于中档题．