Question

【题目】某厂生产不同规格的一种产品，根据检测标准，其合格产品的质量与尺寸x（mm）之间近似满足关系式（b、c为大于0的常数）．按照某项指标测定，当产品质量与尺寸的比在区间内时为优等品．现随机抽取6件合格产品，测得数据如下：

尺寸x（mm）	38	48	58	68	78	88
质量y (g)	16.8	18.8	20.7	22.4	24	25.5
质量与尺寸的比	0.442	0.392	0.357	0.329	0.308	0.290

（Ⅰ）现从抽取的6件合格产品中再任选3件，记为取到优等品的件数，试求随机变量的分布列和期望；

（Ⅱ）根据测得数据作了初步处理，得相关统计量的值如下表：

75.3	24.6	18.3	101.4

（ⅰ）根据所给统计量，求y关于x的回归方程；

（ⅱ）已知优等品的收益（单位：千元）与的关系为，则当优等品的尺寸x为何值时，收益的预报值最大？（精确到0.1）

附：对于样本 ，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，，.

Answer 1

【答案】（1）见解析（2），x=72.3

【解析】

由题意，首先确定的取值，然后求解相应的分布列和数学期望即可

结合题中所给的数据计算回归方程即可

结合计算求得的回归方程得到收益函数，讨论函数的最值即可求得最终结果

（1）解：由已知，优等品的质量与尺寸的比在区间内，即

则随机抽取的6件合格产品中，有3件为优等品，3件为非优等品

现从抽取的6件合格产品中再任选3件，则取到优等品的件数

， ，

，

的分布列为

（2）解：对（）两边取自然对数得，

令，得，且，

（ⅰ）根据所给统计量及最小二乘估计公式有，

-

，得，故

所求y关于x的回归方程为

（ⅱ）由（ⅰ）可知，，则

由优等品质量与尺寸的比，即 令，

当时，取最大值 -

即优等品的尺寸（mm），收益的预报值最大.