Question

如图已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为2的正方形，PD⊥底面ABCD，
E、F分别为棱BC、AD的中点．

（Ⅰ）若PD=1，求异面直线PB和DE所成角的余弦值．
（Ⅱ）若二面角P-BF-C的余弦值为，求四棱锥P-ABCD的体积．

Answer 1

解：（Ⅰ）E，F分别为棱BC，AD的中点，ABCD是边长为2的正方形

Þ∥且=Þ为平行四边形
Þ∥Þ的所成角．
中，BF= ,PF=，PB=3Þ
Þ异面直线PB和DE所成角的余弦为
（Ⅱ）以D为原点，射线DA,DC,DP分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系.设PD=a,
可得如下点的坐标： P(0,0,a),F(1,0,0),B(2,2,0)，则有：
因为PD⊥底面ABCD，所以平面ABCD的一个法向量为， 
设平面PFB的一个法向量为，则可得      即 
令x=1,得，所以. 由已知，二面角P-BF-C的余弦值为，所以得：， 解得．
因为PD是四棱锥P-ABCD的高，所以，其体积为．

解析